Theorem eliood 37632

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	|- ( ph -> A e. RR* )
eliood.2	|- ( ph -> B e. RR* )
eliood.3	|- ( ph -> C e. RR )
eliood.4	|- ( ph -> A < C )
eliood.5	|- ( ph -> C < B )

Assertion

Ref	Expression
eliood	|- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
2		eliood.4	. 2 |- ( ph -> A < C )
3		eliood.5	. 2 |- ( ph -> C < B )
4		eliood.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
5		eliood.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
6		elioo2 11705	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 671	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1197	1 |- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ w3a 991   e. wcel 1897   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   RRcr 9563   RR*cxr 9699   < clt 9700   (,)cioo 11663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-ioo 11667

This theorem is referenced by:  ioomidp  37652  iocopn  37658  iooshift  37660  icoopn  37663  qinioo  37674  limciccioolb  37738  limcicciooub  37754  lptre2pt  37757  limcresiooub  37760  limcresioolb  37761  limcleqr  37762  cncfiooiccre  37810  dvbdfbdioolem2  37838  dvbdfbdioo  37839  ioodvbdlimc1lem1  37840  ioodvbdlimc1lem2  37841  ioodvbdlimc1lem1OLD  37842  ioodvbdlimc1lem2OLD  37843  ioodvbdlimc2lem  37845  ioodvbdlimc2lemOLD  37846  itgioocnicc  37891  dirkercncflem1  38002  dirkercncflem4  38005  fourierdlem10  38016  fourierdlem20  38026  fourierdlem25  38031  fourierdlem27  38033  fourierdlem28  38034  fourierdlem31  38037  fourierdlem31OLD  38038  fourierdlem32  38039  fourierdlem33  38040  fourierdlem40  38047  fourierdlem41  38048  fourierdlem43  38051  fourierdlem44  38052  fourierdlem46  38053  fourierdlem48  38055  fourierdlem49  38056  fourierdlem57  38064  fourierdlem59  38066  fourierdlem60  38067  fourierdlem61  38068  fourierdlem62  38069  fourierdlem64  38071  fourierdlem68  38075  fourierdlem73  38080  fourierdlem74  38081  fourierdlem75  38082  fourierdlem76  38083  fourierdlem78  38085  fourierdlem81  38088  fourierdlem82  38089  fourierdlem84  38091  fourierdlem89  38096  fourierdlem90  38097  fourierdlem91  38098  fourierdlem92  38099  fourierdlem93  38100  fourierdlem97  38104  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem107  38114  fourierdlem109  38116  fourierdlem111  38118  fourierdlem112  38119  sqwvfourb  38130  fourierswlem  38131  fouriersw  38132  qndenserrnbllem  38200  hspdifhsp  38475  hspmbllem2  38486