HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elioc2 7558
Description: Membership in an open-below, closed-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 30-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioc2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A(,]B) <-> (C e. RR /\ A < C /\ C <_ B)))
Proof of Theorem elioc2
StepHypRef Expression
1 elioc1 7548 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A(,]B) <-> (C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B)))
2 rexr 6668 . . . 4 |- (A e. RR -> A e. RR*)
3 rexr 6668 . . . 4 |- (B e. RR -> B e. RR*)
41, 2, 3syl2an 503 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A(,]B) <-> (C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B)))
5 mnflt 6718 . . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> -oo < A)
65ad2antrr 440 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> -oo < A)
7 mnfxr 6662 . . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
8 xrlttr 6728 . . . . . . . . . . . 12 |- (( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A < C) -> -oo < C))
97, 8mp3an1 1178 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A < C) -> -oo < C))
109, 2sylan 497 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A < C) -> -oo < C))
1110adantlr 429 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A < C) -> -oo < C))
126, 11mpand 765 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (A < C -> -oo < C))
13 ltpnf 6717 . . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> B < +oo)
1413ad2antlr 441 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> B < +oo)
15 pnfxr 6660 . . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
16 xrlelttr 6737 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1715, 16mp3an3 1180 . . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR* /\ B e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1817, 3sylan2 500 . . . . . . . . . . 11 |- ((C e. RR* /\ B e. RR) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1918ancoms 484 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR /\ C e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
2019adantll 428 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((C <_ B /\ B < +oo) -> C < +oo))
2114, 20mpan2d 766 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C <_ B -> C < +oo))
2212, 21anim12d 617 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A < C /\ C <_ B) -> ( -oo < C /\ C < +oo)))
23 xrrebnd 6743 . . . . . . . 8 |- (C e. RR* -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
2423adantl 424 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
2522, 24sylibrd 221 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A < C /\ C <_ B) -> C e. RR))
2625expimpd 404 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)) -> C e. RR))
27 simpr 350 . . . . . 6 |- ((C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)) -> (A < C /\ C <_ B))
2827a1i 8 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)) -> (A < C /\ C <_ B)))
2926, 28jcad 661 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)) -> (C e. RR /\ (A < C /\ C <_ B))))
30 3anass 862 . . . 4 |- ((C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B) <-> (C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)))
31 3anass 862 . . . 4 |- ((C e. RR /\ A < C /\ C <_ B) <-> (C e. RR /\ (A < C /\ C <_ B)))
3229, 30, 313imtr4g 612 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B) -> (C e. RR /\ A < C /\ C <_ B)))
334, 32sylbid 220 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A(,]B) -> (C e. RR /\ A < C /\ C <_ B)))
34 rexr 6668 . . . . 5 |- (C e. RR -> C e. RR*)
3534anim1i 361 . . . 4 |- ((C e. RR /\ (A < C /\ C <_ B)) -> (C e. RR* /\ (A < C /\ C <_ B)))
3635, 31, 303imtr4i 236 . . 3 |- ((C e. RR /\ A < C /\ C <_ B) -> (C e. RR* /\ A < C /\ C <_ B))
374, 36syl5bir 227 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR /\ A < C /\ C <_ B) -> C e. (A(,]B)))
3833, 37impbid 574 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A(,]B) <-> (C e. RR /\ A < C /\ C <_ B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448   +oocpnf 6650   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652   < clt 6653  (,]cioc 7525
This theorem is referenced by:  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647  ef01tlubi 8648  absef01tlubi 8650  abspef01tlubi 8660  sin01bndlem2 8734  sin01bndlem3 8735  cos01bndlem2 8736  cos01bndlem3 8737  cos1bnd 8740  sin01gt0 8742  cos01gt0 8743  sin02gt0 8744  sincos1sgn 8745  sincos2sgn 8746  pilem1 10020  sinhalfpilem 10028  sincosq1lem 10052  sincos4thpi 10060  icoopnst 15876  iocopnst 15877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-ioc 7529
Copyright terms: Public domain