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Theorem elintima 36316
Description: Element of intersection of images. (Contributed by RP, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elintima  |-  ( y  e.  |^| { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) }  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    y, a    B, b    a, b, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, a, b)    B( y, a)

Proof of Theorem elintima
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3034 . . 3  |-  y  e. 
_V
21elint2 4233 . 2  |-  ( y  e.  |^| { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) }  <->  A. z  e.  { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) } y  e.  z )
3 elequ2 1918 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  x ) )
43ralab2 3191 . . 3  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) } y  e.  z  <->  A. x
( E. a  e.  A  x  =  ( a " B )  ->  y  e.  x
) )
5 df-rex 2762 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B )  <->  E. a
( a  e.  A  /\  x  =  (
a " B ) ) )
65imbi1i 332 . . . . . 6  |-  ( ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B )  ->  y  e.  x )  <->  ( E. a ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  ->  y  e.  x ) )
7 19.23v 1826 . . . . . 6  |-  ( A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
y  e.  x )  <-> 
( E. a ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
y  e.  x ) )
8 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  x  =  ( a " B ) )
98eleq2d 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
( y  e.  x  <->  y  e.  ( a " B ) ) )
109pm5.74i 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  x  =  (
a " B ) )  ->  y  e.  x )  <->  ( (
a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
y  e.  ( a
" B ) ) )
111elima 5179 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( a " B )  <->  E. b  e.  B  b a
y )
12 df-br 4396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b a y  <->  <. b ,  y >.  e.  a
)
1312rexbii 2881 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  B  b a y  <->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
1411, 13bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( a " B )  <->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
1514imbi2i 319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  x  =  (
a " B ) )  ->  y  e.  ( a " B
) )  <->  ( (
a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
1610, 15bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  x  =  (
a " B ) )  ->  y  e.  x )  <->  ( (
a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
1716albii 1699 . . . . . 6  |-  ( A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
y  e.  x )  <->  A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
186, 7, 173bitr2i 281 . . . . 5  |-  ( ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B )  ->  y  e.  x )  <->  A. a
( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
1918albii 1699 . . . 4  |-  ( A. x ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B
)  ->  y  e.  x )  <->  A. x A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
20 19.23v 1826 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  ( E. x ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
21 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
22 imaexg 6749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a " B )  e.  _V )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( a
" B )  e. 
_V
2423isseti 3037 . . . . . . . . 9  |-  E. x  x  =  ( a " B )
25 19.42v 1842 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  <->  ( a  e.  A  /\  E. x  x  =  ( a " B ) ) )
2624, 25mpbiran2 933 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  <->  a  e.  A )
2726imbi1i 332 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  ( a  e.  A  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
2820, 27bitri 257 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  ( a  e.  A  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
2928albii 1699 . . . . 5  |-  ( A. a A. x ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  A. a
( a  e.  A  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
30 alcom 1940 . . . . 5  |-  ( A. x A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  A. a A. x ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
31 df-ral 2761 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a  <->  A. a ( a  e.  A  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
3229, 30, 313bitr4i 285 . . . 4  |-  ( A. x A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
3319, 32bitri 257 . . 3  |-  ( A. x ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B
)  ->  y  e.  x )  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
344, 33bitri 257 . 2  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) } y  e.  z  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
352, 34bitri 257 1  |-  ( y  e.  |^| { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) }  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   <.cop 3965   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   "cima 4842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-xp 4845  df-cnv 4847  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852
This theorem is referenced by:  intimass  36317  intimag  36319
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