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Theorem elintima 38177
Description: Element of intersection of images. (Contributed by RP, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elintima  |-  ( y  e.  |^| { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) }  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    y, a    B, b    a, b, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, a, b)    B( y, a)

Proof of Theorem elintima
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3109 . . 3  |-  y  e. 
_V
21elint2 4278 . 2  |-  ( y  e.  |^| { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) }  <->  A. z  e.  { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) } y  e.  z )
3 elequ2 1828 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  x ) )
43ralab2 3261 . . 3  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) } y  e.  z  <->  A. x
( E. a  e.  A  x  =  ( a " B )  ->  y  e.  x
) )
5 df-rex 2810 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B )  <->  E. a
( a  e.  A  /\  x  =  (
a " B ) ) )
65imbi1i 323 . . . . . 6  |-  ( ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B )  ->  y  e.  x )  <->  ( E. a ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  ->  y  e.  x ) )
7 19.23v 1765 . . . . . 6  |-  ( A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
y  e.  x )  <-> 
( E. a ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
y  e.  x ) )
8 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  x  =  ( a " B ) )
98eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
( y  e.  x  <->  y  e.  ( a " B ) ) )
109pm5.74i 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  x  =  (
a " B ) )  ->  y  e.  x )  <->  ( (
a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
y  e.  ( a
" B ) ) )
111elima 5330 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( a " B )  <->  E. b  e.  B  b a
y )
12 df-br 4440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b a y  <->  <. b ,  y >.  e.  a
)
1312rexbii 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  B  b a y  <->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
1411, 13bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( a " B )  <->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
1514imbi2i 310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  x  =  (
a " B ) )  ->  y  e.  ( a " B
) )  <->  ( (
a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
1610, 15bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  x  =  (
a " B ) )  ->  y  e.  x )  <->  ( (
a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
1716albii 1645 . . . . . 6  |-  ( A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  -> 
y  e.  x )  <->  A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
186, 7, 173bitr2i 273 . . . . 5  |-  ( ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B )  ->  y  e.  x )  <->  A. a
( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
1918albii 1645 . . . 4  |-  ( A. x ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B
)  ->  y  e.  x )  <->  A. x A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
20 19.23v 1765 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  ( E. x ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
21 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
22 imaexg 6710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a " B )  e.  _V )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( a
" B )  e. 
_V
2423isseti 3112 . . . . . . . . 9  |-  E. x  x  =  ( a " B )
25 19.42v 1780 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  <->  ( a  e.  A  /\  E. x  x  =  ( a " B ) ) )
2624, 25mpbiran2 917 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B
) )  <->  a  e.  A )
2726imbi1i 323 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  ( a  e.  A  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
2820, 27bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  ( a  e.  A  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
2928albii 1645 . . . . 5  |-  ( A. a A. x ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  A. a
( a  e.  A  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
30 alcom 1850 . . . . 5  |-  ( A. x A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  A. a A. x ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a ) )
31 df-ral 2809 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a  <->  A. a ( a  e.  A  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
) )
3229, 30, 313bitr4i 277 . . . 4  |-  ( A. x A. a ( ( a  e.  A  /\  x  =  ( a " B ) )  ->  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a )  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
3319, 32bitri 249 . . 3  |-  ( A. x ( E. a  e.  A  x  =  ( a " B
)  ->  y  e.  x )  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
344, 33bitri 249 . 2  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) } y  e.  z  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
352, 34bitri 249 1  |-  ( y  e.  |^| { x  |  E. a  e.  A  x  =  ( a " B ) }  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  B  <. b ,  y >.  e.  a
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   <.cop 4022   |^|cint 4271   class class class wbr 4439   "cima 4991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-cnv 4996  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001
This theorem is referenced by:  intimass  38180  intimag  38182
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