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Theorem elinintrab 36254
Description: Two ways of saying a set is an element of the intersection of a class with the intersection of a class. (Contributed by RP, 14-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
elinintrab  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  |^| { w  e.  ~P B  |  E. x ( w  =  ( B  i^i  x
)  /\  ph ) }  <-> 
( ( E. x ph  ->  A  e.  B
)  /\  A. x
( ph  ->  A  e.  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, w    x, w, A    w, B, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    V( x, w)

Proof of Theorem elinintrab
StepHypRef Expression
1 vex 3034 . . . 4  |-  x  e. 
_V
21inex2 4538 . . 3  |-  ( B  i^i  x )  e. 
_V
3 inss1 3643 . . 3  |-  ( B  i^i  x )  C_  B
42, 3elmapintrab 36253 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  |^| { w  e.  ~P B  |  E. x ( w  =  ( B  i^i  x
)  /\  ph ) }  <-> 
( ( E. x ph  ->  A  e.  B
)  /\  A. x
( ph  ->  A  e.  ( B  i^i  x
) ) ) ) )
5 elin 3608 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( B  i^i  x )  <->  ( A  e.  B  /\  A  e.  x ) )
65imbi2i 319 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  A  e.  ( B  i^i  x ) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  B  /\  A  e.  x )
) )
7 jcab 880 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  ( A  e.  B  /\  A  e.  x ) )  <->  ( ( ph  ->  A  e.  B
)  /\  ( ph  ->  A  e.  x ) ) )
86, 7bitri 257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A  e.  ( B  i^i  x ) )  <->  ( ( ph  ->  A  e.  B )  /\  ( ph  ->  A  e.  x ) ) )
98albii 1699 . . . . 5  |-  ( A. x ( ph  ->  A  e.  ( B  i^i  x ) )  <->  A. x
( ( ph  ->  A  e.  B )  /\  ( ph  ->  A  e.  x ) ) )
10 19.26 1740 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( ph  ->  A  e.  B )  /\  ( ph  ->  A  e.  x ) )  <-> 
( A. x (
ph  ->  A  e.  B
)  /\  A. x
( ph  ->  A  e.  x ) ) )
11 19.23v 1826 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ph  ->  A  e.  B )  <->  ( E. x ph  ->  A  e.  B ) )
1211anbi1i 709 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x (
ph  ->  A  e.  x
) )  <->  ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x ( ph  ->  A  e.  x ) ) )
1310, 12bitri 257 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( ph  ->  A  e.  B )  /\  ( ph  ->  A  e.  x ) )  <-> 
( ( E. x ph  ->  A  e.  B
)  /\  A. x
( ph  ->  A  e.  x ) ) )
149, 13bitri 257 . . . 4  |-  ( A. x ( ph  ->  A  e.  ( B  i^i  x ) )  <->  ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x ( ph  ->  A  e.  x ) ) )
1514anbi2i 708 . . 3  |-  ( ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x (
ph  ->  A  e.  ( B  i^i  x ) ) )  <->  ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  (
( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x (
ph  ->  A  e.  x
) ) ) )
16 anabs5 826 . . 3  |-  ( ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x ( ph  ->  A  e.  x ) ) )  <->  ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x ( ph  ->  A  e.  x ) ) )
1715, 16bitri 257 . 2  |-  ( ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x (
ph  ->  A  e.  ( B  i^i  x ) ) )  <->  ( ( E. x ph  ->  A  e.  B )  /\  A. x ( ph  ->  A  e.  x ) ) )
184, 17syl6bb 269 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  |^| { w  e.  ~P B  |  E. x ( w  =  ( B  i^i  x
)  /\  ph ) }  <-> 
( ( E. x ph  ->  A  e.  B
)  /\  A. x
( ph  ->  A  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {crab 2760    i^i cin 3389   ~Pcpw 3942   |^|cint 4226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rab 2765  df-v 3033  df-in 3397  df-ss 3404  df-pw 3944  df-int 4227
This theorem is referenced by:  inintabss  36255  inintabd  36256
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