MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elimge0 Structured version   Unicode version

Theorem elimge0 10296
Description: Hypothesis for weak deduction theorem to eliminate  0  <_  A. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.)
Assertion
Ref Expression
elimge0  |-  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 )

Proof of Theorem elimge0
StepHypRef Expression
1 breq2 4371 . 2  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 0  <_  A  <->  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
2 breq2 4371 . 2  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
3 0re 9507 . . 3  |-  0  e.  RR
43leidi 10004 . 2  |-  0  <_  0
51, 2, 4elimhyp 3915 1  |-  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ifcif 3857   class class class wbr 4367   0cc0 9403    <_ cle 9540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator