Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elimaint Structured version   Unicode version

Theorem elimaint 36211
Description: Element of image of intersection. (Contributed by RP, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elimaint  |-  ( y  e.  ( |^| A " B )  <->  E. b  e.  B  A. a  e.  A  <. b ,  y >.  e.  a
)
Distinct variable groups:    a, b, A    B, b    y, a, b
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y, a)

Proof of Theorem elimaint
StepHypRef Expression
1 vex 3083 . . 3  |-  y  e. 
_V
21elima 5192 . 2  |-  ( y  e.  ( |^| A " B )  <->  E. b  e.  B  b |^| A y )
3 df-br 4424 . . . 4  |-  ( b
|^| A y  <->  <. b ,  y >.  e.  |^| A
)
4 opex 4685 . . . . 5  |-  <. b ,  y >.  e.  _V
54elint2 4262 . . . 4  |-  ( <.
b ,  y >.  e.  |^| A  <->  A. a  e.  A  <. b ,  y >.  e.  a
)
63, 5bitri 252 . . 3  |-  ( b
|^| A y  <->  A. a  e.  A  <. b ,  y >.  e.  a
)
76rexbii 2924 . 2  |-  ( E. b  e.  B  b
|^| A y  <->  E. b  e.  B  A. a  e.  A  <. b ,  y >.  e.  a
)
82, 7bitri 252 1  |-  ( y  e.  ( |^| A " B )  <->  E. b  e.  B  A. a  e.  A  <. b ,  y >.  e.  a
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   <.cop 4004   |^|cint 4255   class class class wbr 4423   "cima 4856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-int 4256  df-br 4424  df-opab 4483  df-xp 4859  df-cnv 4861  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866
This theorem is referenced by:  intimass  36217  intimag  36219
  Copyright terms: Public domain W3C validator