Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elima4 Structured version   Unicode version

Theorem elima4 30428
Description: Quantifier-free expression saying that a class is a member of an image. (Contributed by Scott Fenton, 8-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elima4  |-  ( A  e.  ( R " B )  <->  ( R  i^i  ( B  X.  { A } ) )  =/=  (/) )

Proof of Theorem elima4
Dummy variables  x  p  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3089 . 2  |-  ( A  e.  ( R " B )  ->  A  e.  _V )
2 xpeq2 4868 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( B  X.  { A } )  =  ( B  X.  (/) ) )
3 xp0 5274 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
42, 3syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( B  X.  { A } )  =  (/) )
54ineq2d 3664 . . . . 5  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( R  i^i  ( B  X.  { A }
) )  =  ( R  i^i  (/) ) )
6 in0 3790 . . . . 5  |-  ( R  i^i  (/) )  =  (/)
75, 6syl6eq 2479 . . . 4  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( R  i^i  ( B  X.  { A }
) )  =  (/) )
87necon3i 2660 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( B  X.  { A }
) )  =/=  (/)  ->  { A }  =/=  (/) )
9 snnzb 4064 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  { A }  =/=  (/) )
108, 9sylibr 215 . 2  |-  ( ( R  i^i  ( B  X.  { A }
) )  =/=  (/)  ->  A  e.  _V )
11 eleq1 2495 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( R
" B )  <->  A  e.  ( R " B ) ) )
12 sneq 4008 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  { x }  =  { A } )
1312xpeq2d 4877 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  X.  { x }
)  =  ( B  X.  { A }
) )
1413ineq2d 3664 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  i^i  ( B  X.  { x } ) )  =  ( R  i^i  ( B  X.  { A } ) ) )
1514neeq1d 2697 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  i^i  ( B  X.  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( R  i^i  ( B  X.  { A } ) )  =/=  (/) ) )
16 vex 3083 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1716elima3 5194 . . . 4  |-  ( x  e.  ( R " B )  <->  E. y
( y  e.  B  /\  <. y ,  x >.  e.  R ) )
18 n0 3771 . . . . 5  |-  ( ( R  i^i  ( B  X.  { x }
) )  =/=  (/)  <->  E. p  p  e.  ( R  i^i  ( B  X.  {
x } ) ) )
19 elin 3649 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( R  i^i  ( B  X.  { x } ) )  <->  ( p  e.  R  /\  p  e.  ( B  X.  {
x } ) ) )
20 ancom 451 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  R  /\  p  e.  ( B  X.  { x } ) )  <->  ( p  e.  ( B  X.  {
x } )  /\  p  e.  R )
)
21 elxp 4870 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( B  X.  { x } )  <->  E. y E. z ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  { x } ) ) )
2221anbi1i 699 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( B  X.  { x }
)  /\  p  e.  R )  <->  ( E. y E. z ( p  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  B  /\  z  e. 
{ x } ) )  /\  p  e.  R ) )
2319, 20, 223bitri 274 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( R  i^i  ( B  X.  { x } ) )  <->  ( E. y E. z ( p  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  B  /\  z  e. 
{ x } ) )  /\  p  e.  R ) )
2423exbii 1712 . . . . 5  |-  ( E. p  p  e.  ( R  i^i  ( B  X.  { x }
) )  <->  E. p
( E. y E. z ( p  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  { x } ) )  /\  p  e.  R )
)
25 exrot3 1907 . . . . . 6  |-  ( E. p E. y E. z ( p  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e. 
{ x } )  /\  p  e.  R
) )  <->  E. y E. z E. p ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  p  e.  R ) ) )
26 anass 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  { x } ) )  /\  p  e.  R )  <->  ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  p  e.  R ) ) )
27262exbii 1713 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. z ( ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  { x } ) )  /\  p  e.  R )  <->  E. y E. z ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  p  e.  R ) ) )
28 19.41vv 1824 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. z ( ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  { x } ) )  /\  p  e.  R )  <->  ( E. y E. z
( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  { x } ) )  /\  p  e.  R )
)
2927, 28bitr3i 254 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. z ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  p  e.  R ) )  <->  ( E. y E. z ( p  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  B  /\  z  e. 
{ x } ) )  /\  p  e.  R ) )
3029exbii 1712 . . . . . 6  |-  ( E. p E. y E. z ( p  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e. 
{ x } )  /\  p  e.  R
) )  <->  E. p
( E. y E. z ( p  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  { x } ) )  /\  p  e.  R )
)
31 opex 4685 . . . . . . . . . 10  |-  <. y ,  z >.  e.  _V
32 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  <. y ,  z
>.  ->  ( p  e.  R  <->  <. y ,  z
>.  e.  R ) )
3332anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  p  e.  R )  <->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  <. y ,  z >.  e.  R
) ) )
3431, 33ceqsexv 3118 . . . . . . . . 9  |-  ( E. p ( p  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e. 
{ x } )  /\  p  e.  R
) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  <. y ,  z >.  e.  R
) )
3534exbii 1712 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. p ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  p  e.  R ) )  <->  E. z
( ( y  e.  B  /\  z  e. 
{ x } )  /\  <. y ,  z
>.  e.  R ) )
36 anass 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  <. y ,  z >.  e.  R
)  <->  ( y  e.  B  /\  ( z  e.  { x }  /\  <. y ,  z
>.  e.  R ) ) )
37 an12 804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( z  e.  {
x }  /\  <. y ,  z >.  e.  R
) )  <->  ( z  e.  { x }  /\  ( y  e.  B  /\  <. y ,  z
>.  e.  R ) ) )
38 elsn 4012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { x }  <->  z  =  x )
3938anbi1i 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { x }  /\  ( y  e.  B  /\  <. y ,  z >.  e.  R
) )  <->  ( z  =  x  /\  (
y  e.  B  /\  <.
y ,  z >.  e.  R ) ) )
4036, 37, 393bitri 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  <. y ,  z >.  e.  R
)  <->  ( z  =  x  /\  ( y  e.  B  /\  <. y ,  z >.  e.  R
) ) )
4140exbii 1712 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  <. y ,  z
>.  e.  R )  <->  E. z
( z  =  x  /\  ( y  e.  B  /\  <. y ,  z >.  e.  R
) ) )
42 opeq2 4188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  <. y ,  z >.  =  <. y ,  x >. )
4342eleq1d 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  R  <->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
4443anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  e.  B  /\  <. y ,  z
>.  e.  R )  <->  ( y  e.  B  /\  <. y ,  x >.  e.  R
) ) )
4516, 44ceqsexv 3118 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  =  x  /\  ( y  e.  B  /\  <. y ,  z >.  e.  R
) )  <->  ( y  e.  B  /\  <. y ,  x >.  e.  R
) )
4635, 41, 453bitri 274 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. p ( p  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  B  /\  z  e.  { x } )  /\  p  e.  R ) )  <->  ( y  e.  B  /\  <. y ,  x >.  e.  R
) )
4746exbii 1712 . . . . . 6  |-  ( E. y E. z E. p ( p  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e. 
{ x } )  /\  p  e.  R
) )  <->  E. y
( y  e.  B  /\  <. y ,  x >.  e.  R ) )
4825, 30, 473bitr3i 278 . . . . 5  |-  ( E. p ( E. y E. z ( p  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  { x } ) )  /\  p  e.  R )  <->  E. y ( y  e.  B  /\  <. y ,  x >.  e.  R
) )
4918, 24, 483bitri 274 . . . 4  |-  ( ( R  i^i  ( B  X.  { x }
) )  =/=  (/)  <->  E. y
( y  e.  B  /\  <. y ,  x >.  e.  R ) )
5017, 49bitr4i 255 . . 3  |-  ( x  e.  ( R " B )  <->  ( R  i^i  ( B  X.  {
x } ) )  =/=  (/) )
5111, 15, 50vtoclbg 3140 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( R " B )  <->  ( R  i^i  ( B  X.  { A } ) )  =/=  (/) ) )
521, 10, 51pm5.21nii 354 1  |-  ( A  e.  ( R " B )  <->  ( R  i^i  ( B  X.  { A } ) )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   _Vcvv 3080    i^i cin 3435   (/)c0 3761   {csn 3998   <.cop 4004    X. cxp 4851   "cima 4856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-br 4424  df-opab 4483  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator