MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elii2 Structured version   Unicode version

Theorem elii2 21302
Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )

Proof of Theorem elii2
StepHypRef Expression
1 0re 9594 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 1re 9593 . . . . 5  |-  1  e.  RR
31, 2elicc2i 11594 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
43simp1bi 1010 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  X  e.  RR )
54adantr 465 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  RR )
6 halfre 10755 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
7 letric 9683 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( X  <_ 
( 1  /  2
)  \/  ( 1  /  2 )  <_  X ) )
84, 6, 7sylancl 662 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( X  <_  ( 1  / 
2 )  \/  (
1  /  2 )  <_  X ) )
98orcanai 911 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  X
)
103simp3bi 1012 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  X  <_  1 )
1110adantr 465 . 2  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  <_  1
)
126, 2elicc2i 11594 . 2  |-  ( X  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  X  /\  X  <_  1
) )
135, 9, 11, 12syl3anbrc 1179 1  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  X  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  X  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    <_ cle 9627    / cdiv 10207   2c2 10586   [,]cicc 11536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-2 10595  df-icc 11540
This theorem is referenced by:  phtpycc  21357  copco  21384  pcohtpylem  21385  pcopt  21388  pcopt2  21389  pcoass  21390  pcorevlem  21392
  Copyright terms: Public domain W3C validator