MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elii1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elii1 21963
Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )

Proof of Theorem elii1
StepHypRef Expression
1 0re 9643 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
2 halfre 10828 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
31, 2elicc2i 11700 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
43simp1bi 1023 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  e.  RR )
52a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
6 1re 9642 . . . . 5  |-  1  e.  RR
76a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  1  e.  RR )
83simp3bi 1025 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  <_  ( 1  /  2
) )
9 halflt1 10831 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <  1
102, 6, 9ltleii 9757 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  <_  1 )
124, 5, 7, 8, 11letrd 9792 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  <_  1 )
1312pm4.71ri 639 . 2  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
14 ancom 452 . . 3  |-  ( ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  <-> 
( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) )  /\  X  <_  1
) )
15 an32 807 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
16 df-3an 987 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) ) )
173, 16bitri 253 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) ) )
1817anbi1i 701 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) )  /\  X  <_  1
) )
191, 6elicc2i 11700 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
20 df-3an 987 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 ) )
2119, 20bitri 253 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 ) )
2221anbi1i 701 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  X  <_  ( 1  / 
2 ) )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
2315, 18, 223bitr4i 281 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
2414, 23bitri 253 . 2  |-  ( ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  <-> 
( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
2513, 24bitri 253 1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    e. wcel 1887   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    <_ cle 9676    / cdiv 10269   2c2 10659   [,]cicc 11638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-icc 11642
This theorem is referenced by:  phtpycc  22022  pcoval1  22044  copco  22049  pcohtpylem  22050  pcopt  22053  pcopt2  22054  pcorevlem  22057
  Copyright terms: Public domain W3C validator