MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elii1 Structured version   Unicode version

Theorem elii1 20638
Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )

Proof of Theorem elii1
StepHypRef Expression
1 0re 9496 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
2 halfre 10650 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
31, 2elicc2i 11471 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
43simp1bi 1003 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  e.  RR )
52a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
6 1re 9495 . . . . 5  |-  1  e.  RR
76a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  1  e.  RR )
83simp3bi 1005 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  <_  ( 1  /  2
) )
9 halflt1 10653 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <  1
102, 6, 9ltleii 9607 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  <_  1 )
124, 5, 7, 8, 11letrd 9638 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  <_  1 )
1312pm4.71ri 633 . 2  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
14 ancom 450 . . 3  |-  ( ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  <-> 
( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) )  /\  X  <_  1
) )
15 an32 796 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
16 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) ) )
173, 16bitri 249 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) ) )
1817anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) )  /\  X  <_  1
) )
191, 6elicc2i 11471 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
20 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 ) )
2119, 20bitri 249 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 ) )
2221anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  X  <_  ( 1  / 
2 ) )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
2315, 18, 223bitr4i 277 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
2414, 23bitri 249 . 2  |-  ( ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  <-> 
( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
2513, 24bitri 249 1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4399  (class class class)co 6199   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    <_ cle 9529    / cdiv 10103   2c2 10481   [,]cicc 11413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-2 10490  df-icc 11417
This theorem is referenced by:  phtpycc  20694  pcoval1  20716  copco  20721  pcohtpylem  20722  pcopt  20725  pcopt2  20726  pcorevlem  20729
  Copyright terms: Public domain W3C validator