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Theorem elii1 21725
Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )

Proof of Theorem elii1
StepHypRef Expression
1 0re 9625 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
2 halfre 10794 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
31, 2elicc2i 11642 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
43simp1bi 1012 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  e.  RR )
52a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
6 1re 9624 . . . . 5  |-  1  e.  RR
76a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  1  e.  RR )
83simp3bi 1014 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  <_  ( 1  /  2
) )
9 halflt1 10797 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <  1
102, 6, 9ltleii 9738 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  <_  1 )
124, 5, 7, 8, 11letrd 9772 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  <_  1 )
1312pm4.71ri 631 . 2  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
14 ancom 448 . . 3  |-  ( ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  <-> 
( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) )  /\  X  <_  1
) )
15 an32 799 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
16 df-3an 976 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  ( 1  /  2
) )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) ) )
173, 16bitri 249 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2
) ) )
1817anbi1i 693 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) )  /\  X  <_  1
) )
191, 6elicc2i 11642 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
20 df-3an 976 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 ) )
2119, 20bitri 249 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 ) )
2221anbi1i 693 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  X  <_  ( 1  / 
2 ) )  <->  ( (
( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  X  <_  1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
2315, 18, 223bitr4i 277 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  X  <_  1 )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
2414, 23bitri 249 . 2  |-  ( ( X  <_  1  /\  X  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  <-> 
( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  X  <_  (
1  /  2 ) ) )
2513, 24bitri 249 1  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    <_ cle 9658    / cdiv 10246   2c2 10625   [,]cicc 11584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-2 10634  df-icc 11588
This theorem is referenced by:  phtpycc  21781  pcoval1  21803  copco  21808  pcohtpylem  21809  pcopt  21812  pcopt2  21813  pcorevlem  21816
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