MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Structured version   Unicode version

Theorem elicopnf 11620
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11321 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 elico2 11588 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
4 ltpnf 11331 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  < +oo )
65pm4.71i 632 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
7 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
86, 7bitr4i 252 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) )
93, 8syl6bbr 263 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RRcr 9491   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   [,)cico 11531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-ico 11535
This theorem is referenced by:  elrege0  11627  rexico  13149  limsupgle  13263  limsupgre  13267  rlim3  13284  ello12  13302  lo1bdd2  13310  elo12  13313  lo1resb  13350  rlimresb  13351  o1resb  13352  lo1eq  13354  rlimeq  13355  rlimsqzlem  13434  o1fsum  13590  ovolicopnf  21698  dvfsumrlimge0  22194  dvfsumrlim  22195  dvfsumrlim2  22196  cxp2lim  23062  chebbnd1  23413  chtppilimlem1  23414  chtppilimlem2  23415  chtppilim  23416  chebbnd2  23418  chto1lb  23419  chpchtlim  23420  chpo1ub  23421  vmadivsumb  23424  dchrisumlema  23429  dchrisumlem2  23431  dchrisumlem3  23432  dchrmusumlema  23434  dchrmusum2  23435  dchrvmasumlem2  23439  dchrvmasumiflem1  23442  dchrisum0lema  23455  dchrisum0lem1b  23456  dchrisum0lem2a  23458  dchrisum0lem2  23459  2vmadivsumlem  23481  selbergb  23490  selberg2b  23493  chpdifbndlem1  23494  selberg3lem1  23498  selberg3lem2  23499  selberg4lem1  23501  pntrsumo1  23506  selbergsb  23516  pntrlog2bndlem3  23520  pntpbnd1  23527  pntpbnd2  23528  pntibndlem3  23533  pntlemn  23541  pntlem3  23550  pntleml  23552  pnt2  23554  itg2addnclem2  29672
  Copyright terms: Public domain W3C validator