MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Structured version   Unicode version

Theorem elicopnf 11631
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11332 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 elico2 11599 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
4 ltpnf 11342 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  < +oo )
65pm4.71i 632 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
7 df-3an 976 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
86, 7bitr4i 252 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) )
93, 8syl6bbr 263 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   [,)cico 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-ico 11546
This theorem is referenced by:  elrege0  11638  rexico  13168  limsupgle  13282  limsupgre  13286  rlim3  13303  ello12  13321  lo1bdd2  13329  elo12  13332  lo1resb  13369  rlimresb  13370  o1resb  13371  lo1eq  13373  rlimeq  13374  rlimsqzlem  13453  o1fsum  13609  ovolicopnf  21913  dvfsumrlimge0  22409  dvfsumrlim  22410  dvfsumrlim2  22411  cxp2lim  23284  chebbnd1  23635  chtppilimlem1  23636  chtppilimlem2  23637  chtppilim  23638  chebbnd2  23640  chto1lb  23641  chpchtlim  23642  chpo1ub  23643  vmadivsumb  23646  dchrisumlema  23651  dchrisumlem2  23653  dchrisumlem3  23654  dchrmusumlema  23656  dchrmusum2  23657  dchrvmasumlem2  23661  dchrvmasumiflem1  23664  dchrisum0lema  23677  dchrisum0lem1b  23678  dchrisum0lem2a  23680  dchrisum0lem2  23681  2vmadivsumlem  23703  selbergb  23712  selberg2b  23715  chpdifbndlem1  23716  selberg3lem1  23720  selberg3lem2  23721  selberg4lem1  23723  pntrsumo1  23728  selbergsb  23738  pntrlog2bndlem3  23742  pntpbnd1  23749  pntpbnd2  23750  pntibndlem3  23755  pntlemn  23763  pntlem3  23772  pntleml  23774  pnt2  23776  itg2addnclem2  30043
  Copyright terms: Public domain W3C validator