MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Structured version   Unicode version

Theorem elicopnf 11674
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11374 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 elico2 11642 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
31, 2mpan2 669 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
4 ltpnf 11384 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
54adantr 463 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  < +oo )
65pm4.71i 630 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
7 df-3an 976 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
86, 7bitr4i 252 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) )
93, 8syl6bbr 263 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   RRcr 9521   +oocpnf 9655   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   [,)cico 11584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-ico 11588
This theorem is referenced by:  elrege0  11681  rexico  13335  limsupgle  13449  limsupgre  13453  rlim3  13470  ello12  13488  lo1bdd2  13496  elo12  13499  lo1resb  13536  rlimresb  13537  o1resb  13538  lo1eq  13540  rlimeq  13541  rlimsqzlem  13620  o1fsum  13778  ovolicopnf  22227  dvfsumrlimge0  22723  dvfsumrlim  22724  dvfsumrlim2  22725  cxp2lim  23632  chebbnd1  24038  chtppilimlem1  24039  chtppilimlem2  24040  chtppilim  24041  chebbnd2  24043  chto1lb  24044  chpchtlim  24045  chpo1ub  24046  vmadivsumb  24049  dchrisumlema  24054  dchrisumlem2  24056  dchrisumlem3  24057  dchrmusumlema  24059  dchrmusum2  24060  dchrvmasumlem2  24064  dchrvmasumiflem1  24067  dchrisum0lema  24080  dchrisum0lem1b  24081  dchrisum0lem2a  24083  dchrisum0lem2  24084  2vmadivsumlem  24106  selbergb  24115  selberg2b  24118  chpdifbndlem1  24119  selberg3lem1  24123  selberg3lem2  24124  selberg4lem1  24126  pntrsumo1  24131  selbergsb  24141  pntrlog2bndlem3  24145  pntpbnd1  24152  pntpbnd2  24153  pntibndlem3  24158  pntlemn  24166  pntlem3  24175  pntleml  24177  pnt2  24179  itg2addnclem2  31440  elbigo2  38683  rege1logbrege0  38689  blennnelnn  38707  dignnld  38734
  Copyright terms: Public domain W3C validator