MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Structured version   Unicode version

Theorem elicopnf 11385
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11092 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 elico2 11359 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) ) )
4 ltpnf 11102 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  < +oo )
65pm4.71i 632 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
7 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  B  < +oo ) )
86, 7bitr4i 252 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  < +oo ) )
93, 8syl6bbr 263 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  ( A [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   RRcr 9281   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   [,)cico 11302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-ico 11306
This theorem is referenced by:  elrege0  11392  rexico  12841  limsupgle  12955  limsupgre  12959  rlim3  12976  ello12  12994  lo1bdd2  13002  elo12  13005  lo1resb  13042  rlimresb  13043  o1resb  13044  lo1eq  13046  rlimeq  13047  rlimsqzlem  13126  o1fsum  13276  ovolicopnf  21007  dvfsumrlimge0  21502  dvfsumrlim  21503  dvfsumrlim2  21504  cxp2lim  22370  chebbnd1  22721  chtppilimlem1  22722  chtppilimlem2  22723  chtppilim  22724  chebbnd2  22726  chto1lb  22727  chpchtlim  22728  chpo1ub  22729  vmadivsumb  22732  dchrisumlema  22737  dchrisumlem2  22739  dchrisumlem3  22740  dchrmusumlema  22742  dchrmusum2  22743  dchrvmasumlem2  22747  dchrvmasumiflem1  22750  dchrisum0lema  22763  dchrisum0lem1b  22764  dchrisum0lem2a  22766  dchrisum0lem2  22767  2vmadivsumlem  22789  selbergb  22798  selberg2b  22801  chpdifbndlem1  22802  selberg3lem1  22806  selberg3lem2  22807  selberg4lem1  22809  pntrsumo1  22814  selbergsb  22824  pntrlog2bndlem3  22828  pntpbnd1  22835  pntpbnd2  22836  pntibndlem3  22841  pntlemn  22849  pntlem3  22858  pntleml  22860  pnt2  22862  itg2addnclem2  28444
  Copyright terms: Public domain W3C validator