Theorem elico2 7559

Description: Membership in a closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
elico2	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))

Proof of Theorem elico2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico1 7549	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B)))
2		rexr 6668	. . . 4 |- (A e. RR -> A e. RR*)
3		rexr 6668	. . . 4 |- (B e. RR -> B e. RR*)
4	1, 2, 3	syl2an 503	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B)))
5		mnflt 6718	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> -oo < A)
6	5	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> -oo < A)
7		mnfxr 6662	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
8		xrltletr 6738	. . . . . . . . . . . 12 |- (( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
9	7, 8	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
10	9, 2	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
11	10	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
12	6, 11	mpand 765	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (A <_ C -> -oo < C))
13		ltpnf 6717	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> B < +oo)
14	13	ad2antlr 441	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> B < +oo)
15		pnfxr 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
16		xrlttr 6728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
17	15, 16	mp3an3 1180	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR* /\ B e. RR*) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
18	17, 3	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. RR* /\ B e. RR) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
19	18	ancoms 484	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR /\ C e. RR*) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
20	19	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
21	14, 20	mpan2d 766	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C < B -> C < +oo))
22	12, 21	anim12d 617	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A <_ C /\ C < B) -> ( -oo < C /\ C < +oo)))
23		xrrebnd 6743	. . . . . . . 8 |- (C e. RR* -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
24	23	adantl 424	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
25	22, 24	sylibrd 221	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A <_ C /\ C < B) -> C e. RR))
26	25	expimpd 404	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)) -> C e. RR))
27		simpr 350	. . . . . 6 |- ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)) -> (A <_ C /\ C < B))
28	27	a1i 8	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)) -> (A <_ C /\ C < B)))
29	26, 28	jcad 661	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)) -> (C e. RR /\ (A <_ C /\ C < B))))
30		3anass 862	. . . 4 |- ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B) <-> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)))
31		3anass 862	. . . 4 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C < B) <-> (C e. RR /\ (A <_ C /\ C < B)))
32	29, 30, 31	3imtr4g 612	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))
33	4, 32	sylbid 220	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))
34		rexr 6668	. . . . 5 |- (C e. RR -> C e. RR*)
35	34	anim1i 361	. . . 4 |- ((C e. RR /\ (A <_ C /\ C < B)) -> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)))
36	35, 31, 30	3imtr4i 236	. . 3 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C < B) -> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B))
37	4, 36	syl5bir 227	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR /\ A <_ C /\ C < B) -> C e. (A[,)B)))
38	33, 37	impbid 574	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448   +oocpnf 6650   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652   < clt 6653  [,)cico 7526

This theorem is referenced by:  icoshft 7577  icoshftf1oii 7578  icounlem 7581  snunioolem 7583  ioojoin 7585  pilem1 10020  pilem2 10021  cosh111 10071  efif 10075  efifolem4 10079  efifolem6 10081  efifolem7 10082  efif1lem2 10085  efif1lem3 10086  efif1lem4 10087  efif1lem5 10088  efif1lem6 10089  circgrp 10094  shftefif1olem 10095  effoi 10099  resslogrn 10107  pilog 10122  icoopnst 15876  iocopnst 15877

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-ico 7530

Copyright terms: Public domain