MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elico1 Structured version   Unicode version

Theorem elico1 11568
Description: Membership in a closed-below, open-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elico1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,) B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <  B
) ) )

Proof of Theorem elico1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 11531 . 2  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
21elixx1 11534 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,) B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   [,)cico 11527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-xr 9628  df-ico 11531
This theorem is referenced by:  lbico1  11575  elico2  11584  icodisj  11641  leordtvallem2  19478  pnfnei  19487  mnfnei  19488  metustexhalfOLD  20801  metustexhalf  20802  blval2  20813  metuel2  20817  iscfil2  21440  eliccelico  27256  elicoelioo  27257  xrdifh  27259  fsumrp0cl  27347  xrge0iifcnv  27551  esumpcvgval  27724  tan2h  29624  iocinico  30784  rfcnpre3  30986  icogelb  31106  icoltub  31109  elicod  31115  icoiccdif  31128  bj-flbi3  33679
  Copyright terms: Public domain W3C validator