MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elico1 Structured version   Unicode version

Theorem elico1 11543
Description: Membership in a closed-below, open-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elico1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,) B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <  B
) ) )

Proof of Theorem elico1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 11506 . 2  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
21elixx1 11509 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,) B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   RR*cxr 9577    < clt 9578    <_ cle 9579   [,)cico 11502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-xr 9582  df-ico 11506
This theorem is referenced by:  lbico1  11550  elico2  11559  icodisj  11616  ico01fl0  11904  addmodid  11990  leordtvallem2  19897  pnfnei  19906  mnfnei  19907  metustexhalfOLD  21250  metustexhalf  21251  blval2  21262  metuel2  21266  iscfil2  21889  eliccelico  27916  elicoelioo  27917  xrdifh  27919  fsumrp0cl  28017  xrge0iifcnv  28248  esumpcvgval  28405  relowlssretop  31267  tan2h  31400  iocinico  35524  rfcnpre3  36769  icogelb  36892  icoltub  36895  elicod  36901  icoiccdif  36914  iccelpart  37680  icceuelpart  37683  bgoldbtbndlem1  37833  bgoldbtbndlem2  37834  bgoldbtbndlem3  37835  bgoldbtbnd  37837
  Copyright terms: Public domain W3C validator