Theorem eliccre 37603

Description: A member of a closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccre	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. ( A [,] B ) ) -> C e. RR )

Proof of Theorem eliccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 11699	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2	1	biimp3a 1369	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. ( A [,] B ) ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
3	2	simp1d 1020	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. ( A [,] B ) ) -> C e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 985   e. wcel 1887   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   <_ cle 9676   [,]cicc 11638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-icc 11642

This theorem is referenced by:  iccshift  37619  iccsuble  37620  cncfiooiccre  37773  itgioocnicc  37854  iblcncfioo  37855  itgspltprt  37856  itgiccshift  37857  itgperiod  37858  fourierdlem43  38014  fourierdlem44  38015  fourierdlem73  38043  fourierdlem81  38051  fourierdlem82  38052  fourierdlem83  38053  fourierdlem84  38054  fourierdlem92  38062  fourierdlem93  38063  fourierdlem101  38071  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  fourierdlem107  38077  fourierdlem111  38081