Theorem eliccre 37434

Description: A member of a closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccre	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. ( A [,] B ) ) -> C e. RR )

Proof of Theorem eliccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 11700	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2	1	biimp3a 1364	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. ( A [,] B ) ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
3	2	simp1d 1017	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. ( A [,] B ) ) -> C e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 982   e. wcel 1868   class class class wbr 4420  (class class class)co 6302   RRcr 9539   <_ cle 9677   [,]cicc 11639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-icc 11643

This theorem is referenced by:  iccshift  37450  iccsuble  37451  cncfiooiccre  37593  itgioocnicc  37674  iblcncfioo  37675  itgspltprt  37676  itgiccshift  37677  itgperiod  37678  fourierdlem43  37834  fourierdlem44  37835  fourierdlem73  37863  fourierdlem81  37871  fourierdlem82  37872  fourierdlem83  37873  fourierdlem84  37874  fourierdlem92  37882  fourierdlem93  37883  fourierdlem101  37891  fourierdlem103  37893  fourierdlem104  37894  fourierdlem107  37897  fourierdlem111  37901