Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccre Structured version   Unicode version

Theorem eliccre 31476
Description: A member of a closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliccre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  C  e.  RR )

Proof of Theorem eliccre
StepHypRef Expression
1 elicc2 11598 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
21biimp3a 1329 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
32simp1d 1009 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  C  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494    <_ cle 9632   [,]cicc 11541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-icc 11545
This theorem is referenced by:  iccshift  31494  iccsuble  31495  cncfiooiccre  31605  itgioocnicc  31666  iblcncfioo  31667  itgspltprt  31668  itgiccshift  31669  itgperiod  31670  fourierdlem43  31821  fourierdlem44  31822  fourierdlem73  31851  fourierdlem81  31859  fourierdlem82  31860  fourierdlem83  31861  fourierdlem84  31862  fourierdlem92  31870  fourierdlem93  31871  fourierdlem101  31879  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882  fourierdlem107  31885  fourierdlem111  31889
  Copyright terms: Public domain W3C validator