Theorem eliccd 37611

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccd.1	|- ( ph -> A e. RR )
eliccd.2	|- ( ph -> B e. RR )
eliccd.3	|- ( ph -> C e. RR )
eliccd.4	|- ( ph -> A <_ C )
eliccd.5	|- ( ph -> C <_ B )

Assertion

Ref	Expression
eliccd	|- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )

Proof of Theorem eliccd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccd.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
2		eliccd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
3		eliccd.5	. 2 |- ( ph -> C <_ B )
4		eliccd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
5		eliccd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
6		elicc2 11706	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1192	1 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ w3a 986   e. wcel 1889   class class class wbr 4405  (class class class)co 6295   RRcr 9543   <_ cle 9681   [,]cicc 11645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-icc 11649

This theorem is referenced by:  iccshift  37629  limciccioolb  37711  cncfiooicclem1  37781  iblspltprt  37860  itgspltprt  37866  itgiccshift  37867  itgperiod  37868  itgsbtaddcnst  37869  fourierdlem15  37994  fourierdlem17  37996  fourierdlem40  38020  fourierdlem50  38030  fourierdlem51  38031  fourierdlem62  38042  fourierdlem63  38043  fourierdlem64  38044  fourierdlem65  38045  fourierdlem73  38053  fourierdlem74  38054  fourierdlem75  38055  fourierdlem76  38056  fourierdlem78  38058  fourierdlem81  38061  fourierdlem82  38062  fourierdlem92  38072  fourierdlem93  38073  fourierdlem101  38081  fourierdlem103  38083  fourierdlem104  38084  fourierdlem107  38087  fourierdlem111  38091  salgencntex  38212  hoidmv1lelem2  38424  hoidmvlelem1  38427  hoidmvlelem2  38428