MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2i Unicode version

Theorem elicc2i 10932
Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elicc2i.1  |-  A  e.  RR
elicc2i.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
elicc2i  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )

Proof of Theorem elicc2i
StepHypRef Expression
1 elicc2i.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 elicc2i.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 elicc2 10931 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945    <_ cle 9077   [,]cicc 10875
This theorem is referenced by:  0elunit  10971  1elunit  10972  lincmb01cmp  10994  iccf1o  10995  sinbnd2  12738  cosbnd2  12739  rpnnen2  12780  blcvx  18782  iirev  18907  iihalf1  18909  iihalf2  18911  elii1  18913  elii2  18914  iimulcl  18915  iccpnfhmeo  18923  xrhmeo  18924  oprpiece1res2  18930  lebnumii  18944  htpycc  18958  pco0  18992  pcoval2  18994  pcocn  18995  pcohtpylem  18997  pcopt  19000  pcopt2  19001  pcoass  19002  pcorevlem  19004  vitalilem2  19454  vitali  19458  abelth2  20311  coseq00topi  20363  coseq0negpitopi  20364  sinq12ge0  20369  cosq14ge0  20372  cosordlem  20386  cosord  20387  cos11  20388  sinord  20389  recosf1o  20390  resinf1o  20391  efif1olem3  20399  argregt0  20458  argrege0  20459  argimgt0  20460  logimul  20462  cxpsqrlem  20546  chordthmlem4  20629  acosbnd  20693  leibpi  20735  log2ub  20742  jensenlem2  20779  emcllem7  20793  emgt0  20798  harmonicbnd3  20799  harmoniclbnd  20800  harmonicubnd  20801  harmonicbnd4  20802  logdivbnd  21203  pntpbnd2  21234  stge0  23680  stle1  23681  strlem3a  23708  elunitrn  24248  elunitge0  24250  unitdivcld  24252  xrge0iifiso  24274  xrge0iifhom  24276  lgamgulmlem2  24767  rescon  24886  snmlff  24969  divelunit  25138  brbtwn2  25748  ax5seglem1  25771  ax5seglem2  25772  ax5seglem3  25774  ax5seglem5  25776  ax5seglem6  25777  ax5seglem9  25780  ax5seg  25781  axbtwnid  25782  axpaschlem  25783  axpasch  25784  axcontlem2  25808  axcontlem4  25810  axcontlem7  25813  lhe4.4ex1a  27414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-icc 10879
  Copyright terms: Public domain W3C validator