MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Structured version   Unicode version

Theorem elicc2 11348
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 9417 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9417 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 elicc1 11332 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
41, 2, 3syl2an 474 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
5 mnfxr 11082 . . . . . . . 8  |- -oo  e.  RR*
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  e.  RR* )
71ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  e.  RR* )
8 simpr1 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR* )
9 mnflt 11092 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  <  A )
109ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  <  A )
11 simpr2 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 11123 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  <  C )
132ad2antlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  e.  RR* )
14 pnfxr 11080 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> +oo  e.  RR* )
16 simpr3 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  <_  B )
17 ltpnf 11090 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
1817ad2antlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  < +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 11122 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  < +oo )
20 xrrebnd 11128 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( C  e.  RR  <->  ( -oo  <  C  /\  C  < +oo ) ) )
218, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  <->  ( -oo  <  C  /\  C  < +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 906 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
2322, 11, 163jca 1161 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2423ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
25 rexr 9417 . . . 4  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
26253anim1i 1167 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2724, 26impbid1 203 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
284, 27bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9269   +oocpnf 9403   -oocmnf 9404   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407   [,]cicc 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-icc 11295
This theorem is referenced by:  elicc2i  11349  iccssre  11365  iccsupr  11370  iccneg  11393  iccsplit  11405  iccshftr  11406  iccshftl  11408  iccdil  11410  icccntr  11412  iccf1o  11416  supicc  11420  icco1  13002  iccntr  20240  icccmplem1  20241  icccmplem2  20242  icccmplem3  20243  reconnlem1  20245  reconnlem2  20246  cnmpt2pc  20342  icoopnst  20353  iocopnst  20354  cnheiborlem  20368  ivthlem2  20778  ivthlem3  20779  ivthicc  20784  evthicc2  20786  ovolficc  20794  ovolicc1  20841  ovolicc2lem2  20843  ovolicc2lem5  20846  ovolicopnf  20849  dyadmaxlem  20919  opnmbllem  20923  volsup2  20927  volcn  20928  mbfi1fseqlem6  21040  itgspliticc  21156  itgsplitioo  21157  ditgcl  21175  ditgswap  21176  ditgsplitlem  21177  ditgsplit  21178  dvlip  21307  dvlip2  21309  dveq0  21314  dvgt0lem1  21316  dvivthlem1  21322  dvne0  21325  dvcnvrelem1  21331  dvcnvrelem2  21332  dvcnvre  21333  dvfsumlem2  21341  ftc1lem1  21349  ftc1lem2  21350  ftc1a  21351  ftc1lem4  21353  ftc2  21358  ftc2ditglem  21359  itgsubstlem  21362  pserulm  21772  loglesqr  22081  log2tlbnd  22225  ppisval  22326  chtleppi  22434  fsumvma2  22438  chpchtsum  22443  chpub  22444  rplogsumlem2  22619  chpdifbndlem1  22687  pntibndlem2a  22724  pntibndlem2  22725  pntlemj  22737  pntlem3  22743  pntleml  22745  rescon  26983  cvmliftlem10  27031  opnmbllem0  28271  ftc2nc  28320  areacirclem2  28329  areacirclem4  28331  areacirc  28333  isbnd3  28527  isbnd3b  28528  prdsbnd  28536  iccbnd  28583
  Copyright terms: Public domain W3C validator