MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Structured version   Unicode version

Theorem elicc2 11706
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 9693 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9693 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 elicc1 11687 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
41, 2, 3syl2an 479 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
5 mnfxr 11421 . . . . . . . 8  |- -oo  e.  RR*
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  e.  RR* )
71ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  e.  RR* )
8 simpr1 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR* )
9 mnflt 11432 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  <  A )
109ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  <  A )
11 simpr2 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 11465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  <  C )
132ad2antlr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  e.  RR* )
14 pnfxr 11419 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> +oo  e.  RR* )
16 simpr3 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  <_  B )
17 ltpnf 11429 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
1817ad2antlr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  < +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 11464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  < +oo )
20 xrrebnd 11470 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( C  e.  RR  <->  ( -oo  <  C  /\  C  < +oo ) ) )
218, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  <->  ( -oo  <  C  /\  C  < +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
2322, 11, 163jca 1185 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2423ex 435 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
25 rexr 9693 . . . 4  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
26253anim1i 1191 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2724, 26impbid1 206 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
284, 27bitrd 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   [,]cicc 11645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-icc 11649
This theorem is referenced by:  elicc2i  11707  iccssre  11723  iccsupr  11734  iccneg  11760  iccsplit  11772  iccshftr  11773  iccshftl  11775  iccdil  11777  icccntr  11779  iccf1o  11783  supicc  11787  icco1  13603  iccntr  21837  icccmplem1  21838  icccmplem2  21839  icccmplem3  21840  reconnlem1  21842  reconnlem2  21843  cnmpt2pc  21954  icoopnst  21965  iocopnst  21966  cnheiborlem  21980  ivthlem2  22401  ivthlem3  22402  ivthicc  22407  evthicc2  22409  ovolficc  22419  ovolicc1  22467  ovolicc2lem2  22469  ovolicc2lem5  22473  ovolicopnf  22476  dyadmaxlem  22553  opnmbllem  22557  volsup2  22561  volcn  22562  mbfi1fseqlem6  22676  itgspliticc  22792  itgsplitioo  22793  ditgcl  22811  ditgswap  22812  ditgsplitlem  22813  ditgsplit  22814  dvlip  22943  dvlip2  22945  dveq0  22950  dvgt0lem1  22952  dvivthlem1  22958  dvne0  22961  dvcnvrelem1  22967  dvcnvrelem2  22968  dvcnvre  22969  dvfsumlem2  22977  ftc1lem1  22985  ftc1lem2  22986  ftc1a  22987  ftc1lem4  22989  ftc2  22994  ftc2ditglem  22995  itgsubstlem  22998  pserulm  23375  loglesqrt  23696  log2tlbnd  23869  ppisval  24028  chtleppi  24136  fsumvma2  24140  chpchtsum  24145  chpub  24146  rplogsumlem2  24321  chpdifbndlem1  24389  pntibndlem2a  24426  pntibndlem2  24427  pntlemj  24439  pntlem3  24445  pntleml  24447  rescon  29977  cvmliftlem10  30025  opnmbllem0  31940  ftc2nc  31990  areacirclem2  31997  areacirclem4  31999  areacirc  32001  isbnd3  32080  isbnd3b  32081  prdsbnd  32089  iccbnd  32136  eliccd  37550  eliccre  37552  iccshift  37568  iccsuble  37569  limcicciooub  37657  icccncfext  37705  itgsubsticc  37793  iblcncfioo  37795  itgiccshift  37797  itgperiod  37798  itgsbtaddcnst  37799  fourierdlem42  37952  fourierdlem42OLD  37953  fourierdlem54  37964  fourierdlem63  37973  fourierdlem65  37975  fourierdlem74  37984  fourierdlem75  37985  fourierdlem82  37992  fourierdlem93  38003  fourierdlem101  38011  fourierdlem104  38014  fourierdlem111  38021
  Copyright terms: Public domain W3C validator