MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elhoma Structured version   Unicode version

Theorem elhoma 15213
Description: Value of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homarcl.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homafval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
homafval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
homaval.j  |-  J  =  ( Hom  `  C
)
homaval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
homaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
elhoma  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )

Proof of Theorem elhoma
StepHypRef Expression
1 homarcl.h . . . 4  |-  H  =  (Homa
`  C )
2 homafval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 homafval.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 homaval.j . . . 4  |-  J  =  ( Hom  `  C
)
5 homaval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 homaval.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6homaval 15212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H Y )  =  ( {
<. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) )
87breqd 4458 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F ) )
9 brxp 5029 . . 3  |-  ( Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F  <->  ( Z  e. 
{ <. X ,  Y >. }  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
10 opex 4711 . . . . 5  |-  <. X ,  Y >.  e.  _V
1110elsnc2 4058 . . . 4  |-  ( Z  e.  { <. X ,  Y >. }  <->  Z  =  <. X ,  Y >. )
1211anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( Z  e.  { <. X ,  Y >. }  /\  F  e.  ( X J Y ) )  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
139, 12bitri 249 . 2  |-  ( Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F  <->  ( Z  = 
<. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
148, 13syl6bb 261 1  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   Hom chom 14562   Catccat 14915  Homachoma 15204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-homa 15207
This theorem is referenced by:  elhomai  15214  homa1  15218  homahom2  15219
  Copyright terms: Public domain W3C validator