MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elhoma Structured version   Unicode version

Theorem elhoma 15527
Description: Value of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homarcl.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homafval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
homafval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
homaval.j  |-  J  =  ( Hom  `  C
)
homaval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
homaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
elhoma  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )

Proof of Theorem elhoma
StepHypRef Expression
1 homarcl.h . . . 4  |-  H  =  (Homa
`  C )
2 homafval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 homafval.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 homaval.j . . . 4  |-  J  =  ( Hom  `  C
)
5 homaval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 homaval.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6homaval 15526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H Y )  =  ( {
<. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) )
87breqd 4405 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F ) )
9 brxp 4973 . . 3  |-  ( Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F  <->  ( Z  e. 
{ <. X ,  Y >. }  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
10 opex 4654 . . . . 5  |-  <. X ,  Y >.  e.  _V
1110elsnc2 4002 . . . 4  |-  ( Z  e.  { <. X ,  Y >. }  <->  Z  =  <. X ,  Y >. )
1211anbi1i 693 . . 3  |-  ( ( Z  e.  { <. X ,  Y >. }  /\  F  e.  ( X J Y ) )  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
139, 12bitri 249 . 2  |-  ( Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F  <->  ( Z  = 
<. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
148, 13syl6bb 261 1  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3971   <.cop 3977   class class class wbr 4394    X. cxp 4940   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   Hom chom 14812   Catccat 15170  Homachoma 15518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-homa 15521
This theorem is referenced by:  elhomai  15528  homa1  15532  homahom2  15533
  Copyright terms: Public domain W3C validator