Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhf2g Structured version   Unicode version

Theorem elhf2g 30769
Description: Hereditarily finiteness via rank. Closed form of elhf2 30768. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
elhf2g  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Hf  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)

Proof of Theorem elhf2g
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2492 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e. Hf  <->  A  e. Hf  )
)
2 fveq2 5872 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
32eleq1d 2489 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  x )  e.  om  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
4 vex 3081 . . 3  |-  x  e. 
_V
54elhf2 30768 . 2  |-  ( x  e. Hf 
<->  ( rank `  x
)  e.  om )
61, 3, 5vtoclbg 3137 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Hf  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5592   omcom 6697   rankcrnk 8224   Hf chf 30765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-reg 8098  ax-inf2 8137
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-r1 8225  df-rank 8226  df-hf 30766
This theorem is referenced by:  hfun  30771  hfsn  30772  hfelhf  30774  hfuni  30777  hfpw  30778  hfninf  30779
  Copyright terms: Public domain W3C validator