Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhf Structured version   Unicode version

Theorem elhf 28346
Description: Membership in the hereditarily finite sets. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
elhf  |-  ( A  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elhf
StepHypRef Expression
1 df-hf 28345 . . 3  |- Hf  =  U. ( R1 " om )
21eleq2i 2529 . 2  |-  ( A  e. Hf 
<->  A  e.  U. ( R1 " om ) )
3 r111 8083 . . 3  |-  R1 : On
-1-1-> _V
4 f1fun 5706 . . 3  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  Fun 
R1 )
5 eluniima 6066 . . 3  |-  ( Fun 
R1  ->  ( A  e. 
U. ( R1 " om )  <->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
63, 4, 5mp2b 10 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" om )  <->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
72, 6bitri 249 1  |-  ( A  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1758   E.wrex 2796   _Vcvv 3068   U.cuni 4189   Oncon0 4817   "cima 4941   Fun wfun 5510   -1-1->wf1 5513   ` cfv 5516   omcom 6576   R1cr1 8070   Hf chf 28344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-r1 8072  df-hf 28345
This theorem is referenced by:  elhf2  28347  0hf  28349
  Copyright terms: Public domain W3C validator