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Theorem elgrug 9159
Description: Properties of a Grothendieck universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
elgrug  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
Distinct variable group:    x, U, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem elgrug
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 treq 4538 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  ( Tr  u  <->  Tr  U )
)
2 eleq2 2527 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( ~P x  e.  u  <->  ~P x  e.  U ) )
3 eleq2 2527 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( { x ,  y }  e.  u  <->  { x ,  y }  e.  U ) )
43raleqbi1dv 3059 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  <->  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U ) )
5 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
u  ^m  x )  =  ( U  ^m  x ) )
6 eleq2 2527 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( U. ran  y  e.  u  <->  U.
ran  y  e.  U
) )
75, 6raleqbidv 3065 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  (
u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  <->  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) )
82, 4, 73anbi123d 1297 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x
) U. ran  y  e.  u )  <->  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
98raleqbi1dv 3059 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  <->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) )
101, 9anbi12d 708 . 2  |-  ( u  =  U  ->  (
( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) )  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
11 df-gru 9158 . 2  |-  Univ  =  { u  |  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )
) }
1210, 11elab2g 3245 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   ~Pcpw 3999   {cpr 4018   U.cuni 4235   Tr wtr 4532   ran crn 4989  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Univcgru 9157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-tr 4533  df-iota 5534  df-fv 5578  df-ov 6273  df-gru 9158
This theorem is referenced by:  grutr  9160  grupw  9162  grupr  9164  gruurn  9165  intgru  9181  ingru  9182  grutsk1  9188
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