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Theorem elgrug 9065
Description: Properties of a Grothendieck universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
elgrug  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
Distinct variable group:    x, U, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem elgrug
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 treq 4494 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  ( Tr  u  <->  Tr  U )
)
2 eleq2 2525 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( ~P x  e.  u  <->  ~P x  e.  U ) )
3 eleq2 2525 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( { x ,  y }  e.  u  <->  { x ,  y }  e.  U ) )
43raleqbi1dv 3025 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  <->  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U ) )
5 oveq1 6202 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
u  ^m  x )  =  ( U  ^m  x ) )
6 eleq2 2525 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( U. ran  y  e.  u  <->  U.
ran  y  e.  U
) )
75, 6raleqbidv 3031 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  (
u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  <->  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) )
82, 4, 73anbi123d 1290 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x
) U. ran  y  e.  u )  <->  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
98raleqbi1dv 3025 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  <->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) )
101, 9anbi12d 710 . 2  |-  ( u  =  U  ->  (
( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) )  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
11 df-gru 9064 . 2  |-  Univ  =  { u  |  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )
) }
1210, 11elab2g 3209 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   ~Pcpw 3963   {cpr 3982   U.cuni 4194   Tr wtr 4488   ran crn 4944  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   Univcgru 9063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-tr 4489  df-iota 5484  df-fv 5529  df-ov 6198  df-gru 9064
This theorem is referenced by:  grutr  9066  grupw  9068  grupr  9070  gruurn  9071  intgru  9087  ingru  9088  grutsk1  9094
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