MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuzb Structured version   Unicode version

Theorem elfzuzb 11446
Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuzb  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )

Proof of Theorem elfzuzb
StepHypRef Expression
1 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 an6 1298 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  <-> 
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
3 df-3an 967 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
4 anandir 825 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) 
<->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) ) )
5 ancom 450 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
65anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
73, 4, 63bitri 271 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
87anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
91, 2, 83bitr4ri 278 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
10 elfz2 11443 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
11 eluz2 10866 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
12 eluz2 10866 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
1311, 12anbi12i 697 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
149, 10, 133bitr4i 277 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    <_ cle 9418   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-neg 9597  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437
This theorem is referenced by:  eluzfz  11447  elfzuz  11448  elfzuz3  11449  elfzuz2  11455  peano2fzr  11462  fzsplit2  11473  elfz2nn0  11479  fzass4  11495  fzss1  11496  fzss2  11497  fzp1elp1  11508  fznn  11525  elfzofz  11566  fzosplitsnm1  11607  fzofzp1b  11624  fzosplitsn  11632  seqcl2  11823  seqfveq2  11827  monoord  11835  seqid2  11851  bcn1  12088  fz1isolem  12213  seqcoll  12215  swrds1  12344  swrdccat1  12350  swrdccat2  12351  spllen  12395  splfv2a  12397  splval2  12398  caubnd  12845  isercolllem2  13142  isercolllem3  13143  summolem2a  13191  fsum0diag2  13249  climcndslem1  13311  mertenslem1  13343  vdwlem2  14042  vdwlem8  14048  gexcl3  16085  efginvrel2  16223  efgredleme  16239  efgcpbllemb  16251  1stckgenlem  19125  imasdsf1olem  19947  iscmet3lem1  20801  dvtaylp  21834  mtest  21868  ppisval  22440  ppisval2  22441  chtdif  22495  ppidif  22500  logfaclbnd  22560  bposlem4  22625  dchrisumlem2  22738  pntpbnd1  22834  eupath2lem3  23599  fzsplit3  26077  prodmolem2a  27446  mettrifi  28651
  Copyright terms: Public domain W3C validator