MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuzb Structured version   Unicode version

Theorem elfzuzb 11682
Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuzb  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )

Proof of Theorem elfzuzb
StepHypRef Expression
1 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 an6 1308 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  <-> 
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
3 df-3an 975 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
4 anandir 827 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) 
<->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) ) )
5 ancom 450 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
65anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
73, 4, 63bitri 271 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
87anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
91, 2, 83bitr4ri 278 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
10 elfz2 11679 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
11 eluz2 11088 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
12 eluz2 11088 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
1311, 12anbi12i 697 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
149, 10, 133bitr4i 277 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    <_ cle 9629   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-neg 9808  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673
This theorem is referenced by:  eluzfz  11683  elfzuz  11684  elfzuz3  11685  elfzuz2  11691  peano2fzr  11699  fzsplit2  11710  fzass4  11721  fzss1  11722  fzss2  11723  fzp1elp1  11733  fznn  11747  elfz2nn0  11768  elfzofz  11811  fzosplitsnm1  11858  fzofzp1b  11878  fzosplitsn  11886  seqcl2  12093  seqfveq2  12097  monoord  12105  seqid2  12121  bcn1  12359  fz1isolem  12476  seqcoll  12478  swrds1  12639  swrdccat1  12645  swrdccat2  12646  spllen  12693  splfv2a  12695  splval2  12696  caubnd  13154  isercolllem2  13451  isercolllem3  13452  summolem2a  13500  fsum0diag2  13561  climcndslem1  13624  mertenslem1  13656  vdwlem2  14359  vdwlem8  14365  gexcl3  16413  efginvrel2  16551  efgredleme  16567  efgcpbllemb  16579  1stckgenlem  19817  imasdsf1olem  20639  iscmet3lem1  21493  dvtaylp  22527  mtest  22561  ppisval  23133  ppisval2  23134  chtdif  23188  ppidif  23193  logfaclbnd  23253  bposlem4  23318  dchrisumlem2  23431  pntpbnd1  23527  eupath2lem3  24683  fzsplit3  27295  prodmolem2a  28671  mettrifi  29881
  Copyright terms: Public domain W3C validator