MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuzb Structured version   Unicode version

Theorem elfzuzb 11693
Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuzb  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )

Proof of Theorem elfzuzb
StepHypRef Expression
1 df-3an 976 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 an6 1309 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  <-> 
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
3 df-3an 976 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
4 anandir 829 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) 
<->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) ) )
5 ancom 450 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
65anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
73, 4, 63bitri 271 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
87anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
91, 2, 83bitr4ri 278 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
10 elfz2 11690 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
11 eluz2 11098 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
12 eluz2 11098 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
1311, 12anbi12i 697 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
149, 10, 133bitr4i 277 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    <_ cle 9632   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-neg 9813  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684
This theorem is referenced by:  eluzfz  11694  elfzuz  11695  elfzuz3  11696  elfzuz2  11702  peano2fzr  11710  fzsplit2  11721  fzass4  11732  fzss1  11733  fzss2  11734  fzp1elp1  11744  fznn  11758  elfz2nn0  11780  elfzofz  11825  fzosplitsnm1  11872  fzofzp1b  11892  fzosplitsn  11900  seqcl2  12107  seqfveq2  12111  monoord  12119  seqid2  12135  bcn1  12373  fz1isolem  12492  seqcoll  12494  ccatrn  12588  swrds1  12658  swrdccat1  12664  swrdccat2  12665  spllen  12712  splfv2a  12714  splval2  12715  caubnd  13173  isercolllem2  13470  isercolllem3  13471  summolem2a  13519  fsum0diag2  13580  climcndslem1  13643  mertenslem1  13675  prodmolem2a  13723  vdwlem2  14482  vdwlem8  14488  gexcl3  16586  efginvrel2  16724  efgredleme  16740  efgcpbllemb  16752  1stckgenlem  20032  imasdsf1olem  20854  iscmet3lem1  21708  dvtaylp  22743  mtest  22777  ppisval  23355  ppisval2  23356  chtdif  23410  ppidif  23415  logfaclbnd  23475  bposlem4  23540  dchrisumlem2  23653  pntpbnd1  23749  eupath2lem3  24957  fzsplit3  27577  mettrifi  30226
  Copyright terms: Public domain W3C validator