Theorem elfzuz3 11566

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 11563	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simprbi 464	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   ZZ>=cuz 10971   ...cfz 11553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-neg 9708  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554

This theorem is referenced by:  elfzel2  11567  elfzle2  11571  peano2fzr  11579  fzsplit2  11590  fzsplit  11591  fznn0sub  11603  fzopth  11611  fzss1  11613  fzss2  11614  fzp1elp1  11625  fzosplit  11698  fzoend  11734  fzofzp1b  11741  uzindi  11919  seqcl2  11940  seqfveq2  11944  monoord  11952  sermono  11954  seqsplit  11955  seqf1olem2  11962  seqid2  11968  seqhomo  11969  seqz  11970  bcval5  12210  seqcoll  12333  seqcoll2  12334  swrdval2  12433  swrd0val  12434  swrd0len  12435  spllen  12513  splfv2a  12515  fsum0diag2  13367  climcndslem2  13430  pcbc  14079  vdwlem2  14160  vdwlem5  14163  vdwlem6  14164  vdwlem8  14166  psgnunilem5  16118  efgsres  16355  efgredleme  16360  efgcpbllemb  16372  imasdsf1olem  20079  volsup  21169  dvn2bss  21536  dvtaylp  21967  wilth  22541  ftalem1  22542  ppisval2  22574  dvdsppwf1o  22658  logfaclbnd  22693  bposlem6  22760  eupares  23747  fzsplit3  26222  ballotlemsima  27041  ballotlemfrc  27052  ballotlemfrceq  27054  fzssfzo  27077  wrdres  27081  signstres  27119  erdszelem7  27228  erdszelem8  27229  prodfn0  27552  predfz  27807  mettrifi  28800  fmulcl  29909  fmul01lt1lem2  29913  stoweidlem11  29953  stoweidlem17  29959  ssfz12  30344