MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elfzuz3 11797
Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)

Proof of Theorem elfzuz3
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11794 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simprbi 466 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1887   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-neg 9863  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785
This theorem is referenced by:  elfzel2  11798  elfzle2  11803  peano2fzr  11812  fzsplit2  11824  fzsplit  11825  fznn0sub  11831  fzopth  11835  fzss1  11837  fzss2  11838  fzp1elp1  11849  predfz  11914  fzosplit  11951  fzoend  12002  fzofzp1b  12009  uzindi  12194  seqcl2  12231  seqfveq2  12235  monoord  12243  sermono  12245  seqsplit  12246  seqf1olem2  12253  seqid2  12259  seqhomo  12260  seqz  12261  bcval5  12503  seqcoll  12627  seqcoll2  12628  swrdval2  12776  swrd0val  12777  swrd0len  12778  spllen  12861  splfv2a  12863  fsum0diag2  13844  climcndslem2  13908  prodfn0  13950  lcmslefacOLD  14586  lcmflefac  14621  pcbc  14845  vdwlem2  14932  vdwlem5  14935  vdwlem6  14936  vdwlem8  14938  prmgaplem1  15007  psgnunilem5  17135  efgsres  17388  efgredleme  17393  efgcpbllemb  17405  imasdsf1olem  21388  volsup  22509  dvn2bss  22884  dvtaylp  23325  wilth  23996  ftalem1  23997  ppisval2  24031  dvdsppwf1o  24115  logfaclbnd  24150  bposlem6  24217  eupares  25703  fzsplit3  28370  ballotlemsima  29348  ballotlemfrc  29359  ballotlemfrceq  29361  ballotlemsimaOLD  29386  ballotlemfrcOLD  29397  ballotlemfrceqOLD  29399  fzssfzo  29422  wrdres  29426  signstres  29464  erdszelem7  29920  erdszelem8  29921  poimirlem1  31941  poimirlem2  31942  poimirlem3  31943  poimirlem4  31944  poimirlem7  31947  poimirlem12  31952  poimirlem15  31955  poimirlem16  31956  poimirlem17  31957  poimirlem19  31959  poimirlem20  31960  poimirlem23  31963  poimirlem24  31964  poimirlem25  31965  poimirlem29  31969  poimirlem31  31971  mettrifi  32086  bcc0  36689  fmulcl  37659  fmul01lt1lem2  37663  dvnprodlem2  37822  stoweidlem11  37871  stoweidlem17  37877  fourierdlem15  37984  smonoord  38718  pfxres  38929  pfxf  38930  repswpfx  38977  ssfz12  39054
  Copyright terms: Public domain W3C validator