MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz3 Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz3 11685
Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)

Proof of Theorem elfzuz3
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11682 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simprbi 464 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-neg 9808  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673
This theorem is referenced by:  elfzel2  11686  elfzle2  11690  peano2fzr  11699  fzsplit2  11710  fzsplit  11711  fznn0sub  11716  fzopth  11720  fzss1  11722  fzss2  11723  fzp1elp1  11733  fzosplit  11826  fzoend  11871  fzofzp1b  11878  uzindi  12059  seqcl2  12093  seqfveq2  12097  monoord  12105  sermono  12107  seqsplit  12108  seqf1olem2  12115  seqid2  12121  seqhomo  12122  seqz  12123  bcval5  12364  seqcoll  12478  seqcoll2  12479  swrdval2  12610  swrd0val  12611  swrd0len  12612  spllen  12693  splfv2a  12695  fsum0diag2  13561  climcndslem2  13625  pcbc  14278  vdwlem2  14359  vdwlem5  14362  vdwlem6  14363  vdwlem8  14365  psgnunilem5  16325  efgsres  16562  efgredleme  16567  efgcpbllemb  16579  imasdsf1olem  20639  volsup  21729  dvn2bss  22096  dvtaylp  22527  wilth  23101  ftalem1  23102  ppisval2  23134  dvdsppwf1o  23218  logfaclbnd  23253  bposlem6  23320  eupares  24679  fzsplit3  27295  ballotlemsima  28122  ballotlemfrc  28133  ballotlemfrceq  28135  fzssfzo  28158  wrdres  28162  signstres  28200  erdszelem7  28309  erdszelem8  28310  prodfn0  28633  predfz  28888  mettrifi  29881  fmulcl  31159  fmul01lt1lem2  31163  stoweidlem11  31339  stoweidlem17  31345  fourierdlem15  31450  ssfz12  31825
  Copyright terms: Public domain W3C validator