MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz3 Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz3 11442
Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)

Proof of Theorem elfzuz3
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11439 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simprbi 464 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  elfzel2  11443  elfzle2  11447  peano2fzr  11455  fzsplit2  11466  fzsplit  11467  fznn0sub  11479  fzopth  11487  fzss1  11489  fzss2  11490  fzp1elp1  11501  fzosplit  11574  fzoend  11610  fzofzp1b  11617  uzindi  11795  seqcl2  11816  seqfveq2  11820  monoord  11828  sermono  11830  seqsplit  11831  seqf1olem2  11838  seqid2  11844  seqhomo  11845  seqz  11846  bcval5  12086  seqcoll  12208  seqcoll2  12209  swrdval2  12308  swrd0val  12309  swrd0len  12310  spllen  12388  splfv2a  12390  fsum0diag2  13242  climcndslem2  13305  pcbc  13954  vdwlem2  14035  vdwlem5  14038  vdwlem6  14039  vdwlem8  14041  psgnunilem5  15991  efgsres  16226  efgredleme  16231  efgcpbllemb  16243  imasdsf1olem  19923  volsup  21012  dvn2bss  21379  dvtaylp  21810  wilth  22384  ftalem1  22385  ppisval2  22417  dvdsppwf1o  22501  logfaclbnd  22536  bposlem6  22603  eupares  23547  fzsplit3  26029  ballotlemsima  26850  ballotlemfrc  26861  ballotlemfrceq  26863  fzssfzo  26886  wrdres  26890  signstres  26928  erdszelem7  27037  erdszelem8  27038  prodfn0  27360  predfz  27615  mettrifi  28606  fmulcl  29715  fmul01lt1lem2  29719  stoweidlem11  29759  stoweidlem17  29765  ssfz12  30150
  Copyright terms: Public domain W3C validator