MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz3 Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz3 11437
Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)

Proof of Theorem elfzuz3
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11434 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simprbi 461 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425
This theorem is referenced by:  elfzel2  11438  elfzle2  11442  peano2fzr  11450  fzsplit2  11461  fzsplit  11462  fznn0sub  11474  fzopth  11482  fzss1  11484  fzss2  11485  fzp1elp1  11494  fzosplit  11566  fzoend  11602  fzofzp1b  11609  uzindi  11787  seqcl2  11808  seqfveq2  11812  monoord  11820  sermono  11822  seqsplit  11823  seqf1olem2  11830  seqid2  11836  seqhomo  11837  seqz  11838  bcval5  12078  seqcoll  12200  seqcoll2  12201  swrdval2  12300  swrd0val  12301  swrd0len  12302  spllen  12380  splfv2a  12382  fsum0diag2  13233  climcndslem2  13296  pcbc  13945  vdwlem2  14026  vdwlem5  14029  vdwlem6  14030  vdwlem8  14032  psgnunilem5  15980  efgsres  16215  efgredleme  16220  efgcpbllemb  16232  imasdsf1olem  19790  volsup  20879  dvn2bss  21246  dvtaylp  21720  wilth  22294  ftalem1  22295  ppisval2  22327  dvdsppwf1o  22411  logfaclbnd  22446  bposlem6  22513  eupares  23419  fzsplit3  25901  ballotlemsima  26746  ballotlemfrc  26757  ballotlemfrceq  26759  fzssfzo  26782  wrdres  26786  signstres  26824  erdszelem7  26933  erdszelem8  26934  prodfn0  27256  predfz  27511  mettrifi  28497  fmulcl  29607  fmul01lt1lem2  29611  stoweidlem11  29652  stoweidlem17  29658  ssfz12  30043
  Copyright terms: Public domain W3C validator