MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz2 11701
Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz2
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11692 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
32uztrn2 11109 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
41, 3sylbi 195 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-neg 9818  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683
This theorem is referenced by:  elfzle3  11702  elfzubelfz  11708  fzn0  11710  fzopth  11730  elfzom1elp1fzo  11861  bcm1k  12371  bcpasc  12377  seqcoll  12488  swrdccatin12lem2c  12688  swrdccatin12  12691  splid  12704  spllen  12705  gexcl3  16457  dvn2bss  22178  pserdvlem2  22667  ppinprm  23269  chtnprm  23271  chpval2  23336  chpchtsum  23337  lgsdir2lem2  23442  wrdsplex  28288  monoords  31364
  Copyright terms: Public domain W3C validator