MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzp12 Structured version   Unicode version

Theorem elfzp12 11659
Description: Options for membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
elfzp12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )

Proof of Theorem elfzp12
StepHypRef Expression
1 elex 3087 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  _V )
21anim2i 569 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  _V ) )
3 elfvex 5829 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  _V )
4 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( K  =  M  ->  ( K  e.  _V  <->  M  e.  _V ) )
53, 4syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  M  ->  K  e. 
_V ) )
65imdistani 690 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  =  M )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  _V ) )
7 elex 3087 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  K  e.  _V )
87anim2i 569 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  _V ) )
96, 8jaodan 783 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  _V ) )
10 eluzfz1 11578 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
11 fzsplit 11595 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... M
)  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )
13 eluzel2 10980 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
14 fzsn 11620 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... M )  =  { M } )
1615uneq1d 3620 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  =  ( { M }  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
1712, 16eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( { M }  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
1817eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  K  e.  ( { M }  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) ) )
19 elun 3608 . . . 4  |-  ( K  e.  ( { M }  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  <-> 
( K  e.  { M }  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
2018, 19syl6bb 261 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e. 
{ M }  \/  K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) ) )
21 elsncg 4011 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  ( K  e.  { M } 
<->  K  =  M ) )
2221orbi1d 702 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  (
( K  e.  { M }  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
2320, 22sylan9bb 699 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
242, 9, 23pm5.21nd 893 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    u. cun 3437   {csn 3988   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9397    + caddc 9399   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   ...cfz 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  11966  bcpasc  12217  prmdiv  13981  vdwapun  14156  dvply1  21886  pserdvlem2  22029  ppiublem1  22677  lgseisenlem1  22824  lgsquadlem2  22830  pntpbnd1  22971  ballotlem2  27035  subfacp1lem6  27237  fdc  28809  stoweidlem26  29989  stoweidlem34  29997
  Copyright terms: Public domain W3C validator