HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elfzp1 7683
Description: Append an element to a finite set of sequential integers.
Assertion
Ref Expression
elfzp1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
Proof of Theorem elfzp1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 7593 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
21ad2antrr 440 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> M e. ZZ)
3 eluzelz 7592 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. ZZ)
43ad2antrr 440 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> N e. ZZ)
5 elfzelz 7652 . . . . . . . . 9 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K e. ZZ)
65ad2antlr 441 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K e. ZZ)
72, 4, 63jca 1050 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ))
8 elfzle1 7653 . . . . . . . 8 |- (K e. (M...(N + 1)) -> M <_ K)
98ad2antlr 441 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> M <_ K)
10 elfzle2 7654 . . . . . . . . . . 11 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K <_ (N + 1))
1110adantl 424 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> K <_ (N + 1))
1211anim1i 361 . . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K))
13 zre 7348 . . . . . . . . . . . 12 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
145, 13syl 12 . . . . . . . . . . 11 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K e. RR)
1514ad2antlr 441 . . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K e. RR)
16 zre 7348 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
17 peano2re 6599 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
183, 16, 173syl 24 . . . . . . . . . . 11 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. RR)
1918ad2antrr 440 . . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (N + 1) e. RR)
20 ltlen 6692 . . . . . . . . . 10 |- ((K e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (K < (N + 1) <-> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K)))
2115, 19, 20syl11anc 524 . . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K < (N + 1) <-> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K)))
2212, 21mpbird 213 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K < (N + 1))
23 zleltp1 7391 . . . . . . . . 9 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
246, 4, 23syl11anc 524 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
2522, 24mpbird 213 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K <_ N)
267, 9, 25jca32 312 . . . . . 6 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
2726ex 402 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> ((N + 1) =/= K -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
28 elfz2 7642 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
2928adantr 425 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
3027, 29sylibrd 221 . . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> ((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)))
31 eqcom 1886 . . . . . 6 |- ((N + 1) = K <-> K = (N + 1))
3231orbi1i 276 . . . . 5 |- (((N + 1) = K \/ K e. (M...N)) <-> (K = (N + 1) \/ K e. (M...N)))
33 neor 2096 . . . . 5 |- (((N + 1) = K \/ K e. (M...N)) <-> ((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)))
34 orcom 266 . . . . 5 |- ((K = (N + 1) \/ K e. (M...N)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3532, 33, 343bitr3i 198 . . . 4 |- (((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3630, 35sylib 215 . . 3 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3736ex 402 . 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...(N + 1)) -> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
38 fzssp1 7679 . . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M...N) C_ (M...(N + 1)))
391, 3, 38syl11anc 524 . . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (M...N) C_ (M...(N + 1)))
4039sseld 2619 . . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...N) -> K e. (M...(N + 1))))
41 eleq1 1957 . . . 4 |- (K = (N + 1) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (N + 1) e. (M...(N + 1))))
42 peano2uz 7616 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. (ZZ>=` M))
43 eluzfz2 7659 . . . . 5 |- ((N + 1) e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. (M...(N + 1)))
4442, 43syl 12 . . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. (M...(N + 1)))
4541, 44syl5cbir 228 . . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K = (N + 1) -> K e. (M...(N + 1))))
4640, 45jaod 469 . 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((K e. (M...N) \/ K = (N + 1)) -> K e. (M...(N + 1))))
4737, 46impbid 574 1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637
This theorem is referenced by:  fzpr 7685  fsequb 7702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638
Copyright terms: Public domain