HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elfzp1 6570
Description: Append an element to a finite set of sequential integers.
Assertion
Ref Expression
elfzp1 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
Proof of Theorem elfzp1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 6484 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
21ad2antrr 404 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> M e. ZZ)
3 eluzelz 6483 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
43ad2antrr 404 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> N e. ZZ)
5 elfzelz 6542 . . . . . . . . 9 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K e. ZZ)
65ad2antlr 405 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K e. ZZ)
72, 4, 63jca 822 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ))
8 elfzle1 6543 . . . . . . . . 9 |- (K e. (M...(N + 1)) -> M <_ K)
98ad2antlr 405 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> M <_ K)
10 elfzle2 6544 . . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K <_ (N + 1))
1110adantl 388 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> K <_ (N + 1))
1211anim1i 332 . . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K))
13 ltlen 5611 . . . . . . . . . . 11 |- ((K e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (K < (N + 1) <-> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K)))
14 zre 6249 . . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
155, 14syl 10 . . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (M...(N + 1)) -> K e. RR)
1615ad2antlr 405 . . . . . . . . . . 11 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K e. RR)
17 zre 6249 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
18 peano2re 5525 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
193, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. RR)
2019ad2antrr 404 . . . . . . . . . . 11 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (N + 1) e. RR)
2113, 16, 20sylanc 473 . . . . . . . . . 10 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K < (N + 1) <-> (K <_ (N + 1) /\ (N + 1) =/= K)))
2212, 21mpbird 194 . . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K < (N + 1))
23 zleltp1 6292 . . . . . . . . . 10 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
2423, 6, 4sylanc 473 . . . . . . . . 9 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (K <_ N <-> K < (N + 1)))
2522, 24mpbird 194 . . . . . . . 8 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> K <_ N)
269, 25jca 286 . . . . . . 7 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> (M <_ K /\ K <_ N))
277, 26jca 286 . . . . . 6 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) /\ (N + 1) =/= K) -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
2827ex 371 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> ((N + 1) =/= K -> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
29 elfz2 6532 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
3029adantr 389 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
3128, 30sylibrd 202 . . . 4 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> ((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)))
32 eqcom 1514 . . . . . 6 |- ((N + 1) = K <-> K = (N + 1))
3332orbi1i 254 . . . . 5 |- (((N + 1) = K \/ K e. (M...N)) <-> (K = (N + 1) \/ K e. (M...N)))
34 neor 1676 . . . . 5 |- (((N + 1) = K \/ K e. (M...N)) <-> ((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)))
35 orcom 244 . . . . 5 |- ((K = (N + 1) \/ K e. (M...N)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3633, 34, 353bitr3i 179 . . . 4 |- (((N + 1) =/= K -> K e. (M...N)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3731, 36sylib 196 . . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (M...(N + 1))) -> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1)))
3837ex 371 . 2 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) -> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
39 fzssp1 6566 . . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M...N) (_ (M...(N + 1)))
4039, 1, 3sylanc 473 . . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> (M...N) (_ (M...(N + 1)))
4140sseld 2111 . . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...N) -> K e. (M...(N + 1))))
42 eleq1 1571 . . . 4 |- (K = (N + 1) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (N + 1) e. (M...(N + 1))))
43 peano2uz 6507 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (ZZ>` M))
44 eluzfz2 6549 . . . . 5 |- ((N + 1) e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (M...(N + 1)))
4543, 44syl 10 . . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 1) e. (M...(N + 1)))
4642, 45syl5cbir 209 . . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K = (N + 1) -> K e. (M...(N + 1))))
4741, 46jaod 424 . 2 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((K e. (M...N) \/ K = (N + 1)) -> K e. (M...(N + 1))))
4838, 47impbid 518 1 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (M...(N + 1)) <-> (K e. (M...N) \/ K = (N + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   /\ w3a 778   = wceq 988   e. wcel 990   =/= wne 1622   (_ wss 2091   class class class wbr 2669  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  RRcr 5322  1c1 5324   + caddc 5326   <_ cle 5384  ZZcz 5387   < clt 5575  ZZ>cuz 6477  ...cfz 6527
This theorem is referenced by:  fsequb 6583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711
This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-n 6012  df-n0 6210  df-z 6246  df-uz 6478  df-fz 6528
Copyright terms: Public domain