MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzonlteqm1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elfzonlteqm1 12018
Description: If an element of a half-open integer range is not less than the upper bound of the range decreased by 1, it must be equal to the upper bound of the range decreased by 1. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonlteqm1  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ B )  /\  -.  A  <  ( B  - 
1 ) )  ->  A  =  ( B  -  1 ) )

Proof of Theorem elfzonlteqm1
StepHypRef Expression
1 0z 10972 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 elfzo0 11984 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )
3 elnnuz 11219 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  <->  B  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
43biimpi 199 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5 0p1e1 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
76fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 0  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
84, 7eleqtrrd 2552 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
983ad2ant2 1052 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
102, 9sylbi 200 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
11 fzosplitsnm1 12017 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  -> 
( 0..^ B )  =  ( ( 0..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } ) )
121, 10, 11sylancr 676 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  ( 0..^ B )  =  ( ( 0..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
13 eleq2 2538 . . . 4  |-  ( ( 0..^ B )  =  ( ( 0..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  ->  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  A  e.  ( ( 0..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) ) )
14 elun 3565 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( 0..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } )  <->  ( A  e.  ( 0..^ ( B  -  1 ) )  \/  A  e.  {
( B  -  1 ) } ) )
15 elfzo0 11984 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0..^ ( B  -  1 ) )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  ( B  -  1 )  e.  NN  /\  A  < 
( B  -  1 ) ) )
16 pm2.24 112 . . . . . . . 8  |-  ( A  <  ( B  - 
1 )  ->  ( -.  A  <  ( B  -  1 )  ->  A  =  ( B  -  1 ) ) )
17163ad2ant3 1053 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( B  -  1
)  e.  NN  /\  A  <  ( B  - 
1 ) )  -> 
( -.  A  < 
( B  -  1 )  ->  A  =  ( B  -  1
) ) )
1815, 17sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0..^ ( B  -  1 ) )  ->  ( -.  A  <  ( B  - 
1 )  ->  A  =  ( B  - 
1 ) ) )
19 elsni 3985 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { ( B  -  1 ) }  ->  A  =  ( B  -  1 ) )
2019a1d 25 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { ( B  -  1 ) }  ->  ( -.  A  <  ( B  -  1 )  ->  A  =  ( B  -  1
) ) )
2118, 20jaoi 386 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ ( B  -  1 ) )  \/  A  e.  { ( B  - 
1 ) } )  ->  ( -.  A  <  ( B  -  1 )  ->  A  =  ( B  -  1
) ) )
2214, 21sylbi 200 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( 0..^ ( B  -  1 ) )  u.  {
( B  -  1 ) } )  -> 
( -.  A  < 
( B  -  1 )  ->  A  =  ( B  -  1
) ) )
2313, 22syl6bi 236 . . 3  |-  ( ( 0..^ B )  =  ( ( 0..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  ->  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  ( -.  A  <  ( B  -  1 )  ->  A  =  ( B  -  1 ) ) ) )
2412, 23mpcom 36 . 2  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  ( -.  A  <  ( B  - 
1 )  ->  A  =  ( B  - 
1 ) ) )
2524imp 436 1  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ B )  /\  -.  A  <  ( B  - 
1 ) )  ->  A  =  ( B  -  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388   {csn 3959   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182  ..^cfzo 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwlem1  25612
  Copyright terms: Public domain W3C validator