MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzonelfzo Structured version   Unicode version

Theorem elfzonelfzo 11961
Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonelfzo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )

Proof of Theorem elfzonelfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo2 11874 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ R
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R ) )
2 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzelz 11119 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
433ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  < 
R )  ->  K  e.  ZZ )
54ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
6 eluzelre 11120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  RR )
7 zre 10892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 ltnle 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <  N  <->  -.  N  <_  K )
)
96, 7, 8syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  -.  N  <_  K ) )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) )
11103expa 1205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
12 elfzo2 11874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
1311, 12sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N )  ->  K  e.  ( M..^ N ) )
1413ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  ->  K  e.  ( M..^ N ) ) )
159, 14sylbird 238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  N  <_  K  ->  K  e.  ( M..^ N ) ) )
1615con1d 127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  N  <_  K ) )
1716ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  N  <_  K ) ) )
1817com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K ) ) )
19183ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  < 
R )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K ) ) )
2019imp31 433 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  <_  K )
21 eluz2 11116 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) )
222, 5, 20, 21syl3anbrc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)
23 simpll2 1045 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  R  e.  ZZ )
24 simpll3 1046 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  <  R )
25 elfzo2 11874 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( N..^ R
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R ) )
2622, 23, 24, 25syl3anbrc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ( N..^ R ) )
2726ex 435 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
281, 27sylanb 474 . 2  |-  ( ( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
2928com12 32 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RRcr 9489    < clt 9626    <_ cle 9627   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110  ..^cfzo 11866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867
This theorem is referenced by:  fzonfzoufzol  11962  swrdccatin12lem1  12786  swrdccatin12lem2a  12787  swrdccatin12lem2b  12788  fourierdlem20  37872  pfxccatin12lem1  38777
  Copyright terms: Public domain W3C validator