MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzonelfzo Structured version   Unicode version

Theorem elfzonelfzo 11915
Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonelfzo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )

Proof of Theorem elfzonelfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo2 11829 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ R
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R ) )
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzelz 11115 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
433ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  < 
R )  ->  K  e.  ZZ )
54ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
6 eluzelre 11116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  RR )
7 zre 10889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 ltnle 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <  N  <->  -.  N  <_  K )
)
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  -.  N  <_  K ) )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) )
11103expa 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
12 elfzo2 11829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
1311, 12sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N )  ->  K  e.  ( M..^ N ) )
1413ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  ->  K  e.  ( M..^ N ) ) )
159, 14sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  N  <_  K  ->  K  e.  ( M..^ N ) ) )
1615con1d 124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  N  <_  K ) )
1716ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  N  <_  K ) ) )
1817com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K ) ) )
19183ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  < 
R )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  K ) ) )
2019imp31 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  <_  K )
21 eluz2 11112 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) )
222, 5, 20, 21syl3anbrc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)
23 simpll2 1036 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  R  e.  ZZ )
24 simpll3 1037 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  <  R )
25 elfzo2 11829 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( N..^ R
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R ) )
2622, 23, 24, 25syl3anbrc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ( N..^ R ) )
2726ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  R  e.  ZZ  /\  K  <  R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
281, 27sylanb 472 . 2  |-  ( ( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
2928com12 31 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ( M..^ R )  /\  -.  K  e.  ( M..^ N ) )  ->  K  e.  ( N..^ R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508    < clt 9645    <_ cle 9646   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106  ..^cfzo 11821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822
This theorem is referenced by:  fzonfzoufzol  11916  swrdccatin12lem1  12721  swrdccatin12lem2a  12722  swrdccatin12lem2b  12723  fourierdlem20  32112  pfxccatin12lem1  32541
  Copyright terms: Public domain W3C validator