MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzom1elp1fzo Structured version   Unicode version

Theorem elfzom1elp1fzo 11917
Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1elp1fzo  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzofz 11872 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
2 elfzuz2 11743 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
3 elnn0uz 11163 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4 zcn 10909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
54anim1i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
)
6 elnnnn0 10879 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
75, 6sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
87expcom 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
93, 8sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
101, 2, 93syl 20 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  NN ) )
1110impcom 428 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
12 1nn0 10851 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
14 nnnn0 10842 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
15 nnge1 10601 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
1613, 14, 153jca 1177 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
1711, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
18 elfz2nn0 11822 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  1  <_  N ) )
1917, 18sylibr 212 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
1  e.  ( 0 ... N ) )
20 fzossrbm1 11884 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ N ) )
2120adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ N ) )
22 fzossfz 11875 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  C_  (
0 ... N )
2321, 22syl6ss 3453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... N ) )
24 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
2523, 24jca 530 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N )  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
26 ssel2 3436 . . . 4  |-  ( ( ( 0..^ ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... N )  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... N
) )
27 elfzubelfz 11750 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2825, 26, 273syl 20 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2919, 28jca 530 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( 1  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... N ) ) )
30 elfzodifsumelfzo 11916 . 2  |-  ( ( 1  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
3129, 24, 30sylc 59 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  I  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   ...cfz 11724  ..^cfzo 11852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlk  25193  clwwlkf  25198  clwlkfclwwlk  25248
  Copyright terms: Public domain W3C validator