MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzolt2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzolt2 11866
Description: A member in a half-open integer interval is less than the upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzolt2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  <  N )

Proof of Theorem elfzolt2
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11857 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzoel1 11855 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
3 elfzoel2 11856 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
4 elfzo 11859 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1230 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <-> 
( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
65ibi 241 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) )
76simprd 461 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  <  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277    < clt 9657    <_ cle 9658   ZZcz 10904  ..^cfzo 11852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853
This theorem is referenced by:  elfzolt3  11867  elfzolt2b  11868  fzonel  11870  elfzouz2  11871  fzonnsub  11880  fzospliti  11887  fzodisj  11889  fzouzdisj  11891  elfzo0  11893  elfzo1  11901  fzoaddel  11903  elincfzoext  11908  ssfzo12  11940  elfznelfzob  11951  modaddmodlo  12090  ccatrn  12658  swrds2  12937  fzomaxdiflem  13322  fzo0dvdseq  14246  bitsfzolem  14291  bitsfzo  14292  sadcaddlem  14314  sadaddlem  14323  sadasslem  14327  sadeq  14329  smuval2  14339  smupvallem  14340  smueqlem  14347  crt  14515  eulerthlem2  14519  znf1o  18886  iundisj  22248  clwlkisclwwlklem2fv1  25186  iundisjf  27867  iundisjfi  28035  signsplypnf  28999  hashgcdlem  35501  elfzfzo  36812  elfzop1le2  36830  dvnmul  37089  iblspltprt  37121  itgspltprt  37127  stoweidlem3  37134  fourierdlem12  37250  fourierdlem50  37288  fourierdlem64  37302  fourierdlem79  37317  iccpartgt  37675  m1modmmod  38625
  Copyright terms: Public domain W3C validator