Theorem elfzoel1 11093

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel1	|- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3594	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) =/= (/) )
2		fzof 11092	. . . . . 6 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
3	2	fdmi 5555	. . . . 5 |- dom ..^ = ( ZZ X. ZZ )
4	3	ndmov 6190	. . . 4 |- ( -. ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) = (/) )
5	4	necon1ai 2609	. . 3 |- ( ( B..^ C ) =/= (/) -> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
6	1, 5	syl 16	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
7	6	simpld 446	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   e. wcel 1721   =/= wne 2567   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   X. cxp 4835  (class class class)co 6040   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090

This theorem is referenced by:  elfzoelz  11095  elfzo2  11098  elfzole1  11102  elfzolt2  11103  elfzolt3  11104  elfzolt3b  11106  fzospliti  11120  fzoaddel  11130  fzosubel  11132  fzosubel3  11134  fzofzp1  11144  fzostep1  11152  fzomaxdiflem  12101  fzocongeq  12858

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091