Theorem elfzoel1 11663

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel1	|- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3746	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) =/= (/) )
2		fzof 11662	. . . . . 6 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
3	2	fdmi 5667	. . . . 5 |- dom ..^ = ( ZZ X. ZZ )
4	3	ndmov 6352	. . . 4 |- ( -. ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) = (/) )
5	4	necon1ai 2680	. . 3 |- ( ( B..^ C ) =/= (/) -> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
6	1, 5	syl 16	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
7	6	simpld 459	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   =/= wne 2645   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   X. cxp 4941  (class class class)co 6195   ZZcz 10752  ..^cfzo 11660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-neg 9704  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661

This theorem is referenced by:  elfzoelz  11665  elfzo2  11668  elfzole1  11672  elfzolt2  11673  elfzolt3  11674  elfzolt3b  11676  fzospliti  11693  fzoaddel  11709  fzosubel  11711  fzosubel3  11713  fzofzp1  11736  fzostep1  11747  fzomaxdiflem  12943  fzocongeq  13700