Theorem elfzoel1 11807

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel1	|- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3796	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) =/= (/) )
2		fzof 11806	. . . . . 6 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
3	2	fdmi 5742	. . . . 5 |- dom ..^ = ( ZZ X. ZZ )
4	3	ndmov 6454	. . . 4 |- ( -. ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) = (/) )
5	4	necon1ai 2698	. . 3 |- ( ( B..^ C ) =/= (/) -> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
6	1, 5	syl 16	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
7	6	simpld 459	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1767   =/= wne 2662   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   X. cxp 5003  (class class class)co 6295   ZZcz 10876  ..^cfzo 11804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805

This theorem is referenced by:  elfzoelz  11809  elfzo2  11812  elfzole1  11816  elfzolt2  11817  elfzolt3  11818  elfzolt3b  11820  fzospliti  11837  fzoaddel  11853  fzosubel  11855  fzosubel3  11857  fzofzp1  11889  fzostep1  11902  fzomaxdiflem  13155  fzocongeq  13916  elfzop1le2  31369