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Theorem elfzodifsumelfzo 11714
Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) )

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11590 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2 elfz2nn0 11590 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... P )  <->  ( N  e.  NN0  /\  P  e. 
NN0  /\  N  <_  P ) )
3 elfzo0 11697 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN  /\  I  <  ( N  -  M ) ) )
4 nn0z 10773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
5 nn0z 10773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6 znnsub 10795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  NN0 )
9 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  NN0 )
10 nn0addcl 10719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  NN0 )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  e.  NN0 )
13 0red 9491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
14 nn0re 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
16 nn0re 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
1813, 15, 173jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
20 nn0ge0 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  M )
2221anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( 0  <_  M  /\  M  <  N
) )
23 lelttr 9569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  N )  ->  0  <  N
) )
2419, 22, 23sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  0  <  N
)
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  0  <  N ) )
26 0red 9491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
2716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
28 nn0re 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  RR )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
30 ltletr 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  (
( 0  <  N  /\  N  <_  P )  ->  0  <  P
) )
3126, 27, 29, 30syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
N  /\  N  <_  P )  ->  0  <  P ) )
32 nn0z 10773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  ZZ )
33 elnnz 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  e.  NN  <->  ( P  e.  ZZ  /\  0  < 
P ) )
3433simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( 0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3731, 36syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
N  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
3837exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  ( N  <_  P  ->  P  e.  NN ) ) ) )
3938com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( N  <_  P  ->  (
0  <  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  P  e.  NN ) ) ) )
4039imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  -> 
( 0  <  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  P  e.  NN ) ) )
4140com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  (
( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  N  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4325, 42syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  P  e.  NN )
47 nn0re 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
4915adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  RR )
50 readdcl 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( I  +  M
)  e.  RR )
5148, 49, 50syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  RR )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  e.  RR )
5317adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  N  e.  RR )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  RR )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
5628adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
5752, 55, 563jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( ( I  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )
)
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( (
I  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )
5947adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
6015adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
6117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
6259, 60, 61ltaddsubd 10043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  ( ( I  +  M )  < 
N  <->  I  <  ( N  -  M ) ) )
6362exbiri 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  +  M
)  <  N )
) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( I  +  M
)  <  N )
) )
6564impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( I  < 
( N  -  M
)  /\  I  e.  NN0 )  ->  ( I  +  M )  <  N
) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
I  +  M )  <  N ) )
6766imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  <  N )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  <  N )
6968anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( (
I  +  M )  <  N  /\  N  <_  P ) )
70 ltletr 9570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  (
( ( I  +  M )  <  N  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  <  P
) )
7158, 69, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( I  +  M )  <  P
)
7271anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  <  P
)
73 elfzo0 11697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P )  <->  ( ( I  +  M )  e. 
NN0  /\  P  e.  NN  /\  ( I  +  M )  <  P
) )
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) )
7574exp53 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
767, 75sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  M )  e.  NN  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
77763adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN  ->  ( I  <  ( N  -  M )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
7877com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  (
I  <  ( N  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
79783imp 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN  /\  I  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
)  ->  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  (
I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
803, 79sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
)  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
82813adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
832, 82sylbi 195 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... P )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8483com12 31 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  ( 0 ... P )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
851, 84sylbi 195 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  ( 0 ... P )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8685imp 429 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386    + caddc 9389    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ...cfz 11547  ..^cfzo 11658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659
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