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Theorem elfzodifsumelfzo 11596
Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) )

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11472 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2 elfz2nn0 11472 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... P )  <->  ( N  e.  NN0  /\  P  e. 
NN0  /\  N  <_  P ) )
3 elfzo0 11579 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN  /\  I  <  ( N  -  M ) ) )
4 nn0z 10661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
5 nn0z 10661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6 znnsub 10683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  NN0 )
9 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  NN0 )
10 nn0addcl 10607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  NN0 )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  e.  NN0 )
13 0red 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
14 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
16 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
1813, 15, 173jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
20 nn0ge0 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  M )
2221anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( 0  <_  M  /\  M  <  N
) )
23 lelttr 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  N )  ->  0  <  N
) )
2419, 22, 23sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  0  <  N
)
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  0  <  N ) )
26 0red 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
2716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
28 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  RR )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
30 ltletr 9458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  (
( 0  <  N  /\  N  <_  P )  ->  0  <  P
) )
3126, 27, 29, 30syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
N  /\  N  <_  P )  ->  0  <  P ) )
32 nn0z 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  ZZ )
33 elnnz 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  e.  NN  <->  ( P  e.  ZZ  /\  0  < 
P ) )
3433simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( 0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3731, 36syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
N  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
3837exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  ( N  <_  P  ->  P  e.  NN ) ) ) )
3938com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( N  <_  P  ->  (
0  <  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  P  e.  NN ) ) ) )
4039imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  -> 
( 0  <  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  P  e.  NN ) ) )
4140com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  (
( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  N  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4325, 42syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  P  e.  NN )
47 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
4915adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  RR )
50 readdcl 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( I  +  M
)  e.  RR )
5148, 49, 50syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  RR )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  e.  RR )
5317adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  N  e.  RR )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  RR )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
5628adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
5752, 55, 563jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( ( I  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )
)
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( (
I  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )
5947adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
6015adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
6117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
6259, 60, 61ltaddsubd 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  ( ( I  +  M )  < 
N  <->  I  <  ( N  -  M ) ) )
6362exbiri 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  +  M
)  <  N )
) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( I  +  M
)  <  N )
) )
6564impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( I  < 
( N  -  M
)  /\  I  e.  NN0 )  ->  ( I  +  M )  <  N
) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
I  +  M )  <  N ) )
6766imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  <  N )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  <  N )
6968anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( (
I  +  M )  <  N  /\  N  <_  P ) )
70 ltletr 9458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  (
( ( I  +  M )  <  N  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  <  P
) )
7158, 69, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( I  +  M )  <  P
)
7271anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  <  P
)
73 elfzo0 11579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P )  <->  ( ( I  +  M )  e. 
NN0  /\  P  e.  NN  /\  ( I  +  M )  <  P
) )
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) )
7574exp53 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
767, 75sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  M )  e.  NN  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
77763adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN  ->  ( I  <  ( N  -  M )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
7877com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  (
I  <  ( N  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
79783imp 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN  /\  I  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
)  ->  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  (
I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
803, 79sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
)  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
82813adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
832, 82sylbi 195 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... P )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8483com12 31 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  ( 0 ... P )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
851, 84sylbi 195 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  ( 0 ... P )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8685imp 429 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541
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