MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzo2 11791
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )

Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 821 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( (
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K
)  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
2 df-3an 970 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) )
32anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N
) ) )
4 eluz2 11079 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
5 3ancoma 975 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
6 df-3an 970 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K ) )
74, 5, 63bitri 271 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K ) )
87anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )  <->  ( (
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K
)  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
91, 3, 83bitr4i 277 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
10 elfzoelz 11788 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ZZ )
11 elfzoel1 11786 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
12 elfzoel2 11787 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
1310, 11, 123jca 1171 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 elfzo 11790 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
1513, 14biadan2 642 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
16 3anass 972 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
179, 15, 163bitr4i 277 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    < clt 9619    <_ cle 9620   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073  ..^cfzo 11783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784
This theorem is referenced by:  elfzouz  11792  fzolb  11793  elfzo3  11803  fzouzsplit  11819  elfzo0  11822  fzo1fzo0n0  11823  elfzo1  11830  eluzgtdifelfzo  11837  ssfzo12bi  11866  elfzonelfzo  11871  elfzomelpfzo  11873  modaddmodup  12008  cshwidxmod  12726  cats1fv  12776  bitsfzolem  13934  bitsfzo  13935  bitsmod  13936  bitsfi  13937  bitsinv1lem  13941  bitsinv1  13942  modprm0  14180  lt6abl  16683  iundisj2  21689  dchrisum0flblem2  23417  spthispth  24239  iundisj2f  27110  iundisj2fi  27258  elfzfzo  30992  monoords  31030  iblspltprt  31248  itgspltprt  31254  fourierdlem20  31384  fourierdlem25  31389  fourierdlem41  31405  fourierdlem48  31412  fourierdlem49  31413  fourierdlem50  31414  fourierdlem79  31443  subsubelfzo0  31764  el2fzo  31765  fzoopth  31766
  Copyright terms: Public domain W3C validator