MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzo2 11657
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )

Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 820 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( (
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K
)  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
2 df-3an 967 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) )
32anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N
) ) )
4 eluz2 10968 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
5 3ancoma 972 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
6 df-3an 967 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K ) )
74, 5, 63bitri 271 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K ) )
87anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )  <->  ( (
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K
)  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
91, 3, 83bitr4i 277 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
10 elfzoelz 11654 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ZZ )
11 elfzoel1 11652 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
12 elfzoel2 11653 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
1310, 11, 123jca 1168 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 elfzo 11656 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
1513, 14biadan2 642 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
16 3anass 969 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
179, 15, 163bitr4i 277 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    < clt 9519    <_ cle 9520   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962  ..^cfzo 11649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650
This theorem is referenced by:  elfzouz  11658  fzolb  11659  elfzo3  11669  fzouzsplit  11685  elfzo0  11688  fzo1fzo0n0  11689  elfzo1  11696  ssfzo12bi  11723  elfzonelfzo  11728  elfzomelpfzo  11730  modaddmodup  11863  cshwidxmod  12542  cats1fv  12588  bitsfzolem  13732  bitsfzo  13733  bitsmod  13734  bitsfi  13735  bitsinv1lem  13739  bitsinv1  13740  modprm0  13975  lt6abl  16475  iundisj2  21146  dchrisum0flblem2  22874  spthispth  23607  iundisj2f  26066  iundisj2fi  26215  subsubelfzo0  30348  el2fzo  30350  fzoopth  30351  eluzgtdifelfzo  30357
  Copyright terms: Public domain W3C validator