MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzo2 11811
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )

Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 824 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( (
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K
)  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
2 df-3an 976 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) )
32anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N
) ) )
4 eluz2 11096 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
5 3ancoma 981 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
6 df-3an 976 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K ) )
74, 5, 63bitri 271 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K ) )
87anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )  <->  ( (
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K
)  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
91, 3, 83bitr4i 277 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
10 elfzoelz 11808 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ZZ )
11 elfzoel1 11806 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
12 elfzoel2 11807 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
1310, 11, 123jca 1177 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 elfzo 11810 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
1513, 14biadan2 642 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
16 3anass 978 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
179, 15, 163bitr4i 277 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    < clt 9631    <_ cle 9632   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090  ..^cfzo 11803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804
This theorem is referenced by:  elfzouz  11812  fzolb  11813  elfzo3  11823  fzouzsplit  11839  elfzo0  11842  fzo1fzo0n0  11843  elfzo1  11850  eluzgtdifelfzo  11857  ssfzo12bi  11886  elfzonelfzo  11891  elfzomelpfzo  11893  modaddmodup  12029  ccatrn  12585  cshwidxmod  12753  cats1fv  12803  bitsfzolem  13961  bitsfzo  13962  bitsmod  13963  bitsfi  13964  bitsinv1lem  13968  bitsinv1  13969  modprm0  14207  lt6abl  16771  iundisj2  21832  dchrisum0flblem2  23566  spthispth  24447  iundisj2f  27321  iundisj2fi  27474  elfzfzo  31407  monoords  31445  iblspltprt  31662  itgspltprt  31668  fourierdlem20  31798  fourierdlem25  31803  fourierdlem41  31819  fourierdlem48  31826  fourierdlem49  31827  fourierdlem50  31828  fourierdlem79  31857  subsubelfzo0  32176  el2fzo  32177  fzoopth  32178
  Copyright terms: Public domain W3C validator