MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Unicode version

Theorem elfznn 11036
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a natural number. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11015 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 11016 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10263 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   1c1 8947    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  elfz1end  11037  fzossnn  11127  bcm1k  11561  bcpasc  11567  seqcoll  11667  isercolllem2  12414  isercolllem3  12415  isercoll  12416  sumeq2ii  12442  summolem3  12463  summolem2a  12464  fsum  12469  sumz  12471  fsumconst  12528  o1fsum  12547  binomlem  12563  incexc2  12573  climcndslem1  12584  climcndslem2  12585  climcnds  12586  harmonic  12593  arisum2  12595  trireciplem  12596  geo2sum  12605  geo2lim  12607  rpnnen2lem10  12778  fzm1ndvds  12856  phicl  13113  prmdivdiv  13131  pcfac  13223  pcbc  13224  prmreclem2  13240  prmreclem3  13241  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  prmreclem6  13244  prmrec  13245  4sqlem13  13280  vdwlem2  13305  vdwlem3  13306  vdwlem10  13313  vdwlem12  13315  mulgnnsubcl  14857  mulgnn0z  14865  mulgnndir  14867  oddvdsnn0  15137  odnncl  15138  gexcl3  15176  efgsres  15325  mulgnn0di  15403  gsumconst  15487  1stcfb  17461  1stckgenlem  17538  lebnumii  18944  ovollb2lem  19337  ovolunlem1a  19345  ovoliunlem1  19351  ovoliunlem2  19352  ovoliun2  19355  ovolscalem1  19362  ovolicc2lem4  19369  voliunlem1  19397  volsup  19403  ioombl1lem4  19408  uniioovol  19424  uniioombllem3a  19429  uniioombllem3  19430  uniioombllem4  19431  uniioombllem5  19432  uniioombllem6  19433  dvply1  20154  aaliou3lem5  20217  aaliou3lem6  20218  dvtaylp  20239  taylthlem2  20243  pserdvlem2  20297  logfac  20448  atantayl  20730  birthdaylem2  20744  emcllem1  20787  emcllem2  20788  emcllem3  20789  emcllem5  20791  emcllem7  20793  harmoniclbnd  20800  harmonicubnd  20801  harmonicbnd4  20802  fsumharmonic  20803  wilthlem1  20804  wilthlem2  20805  ftalem5  20812  basellem1  20816  basellem8  20823  chpf  20859  efchpcl  20861  chpp1  20891  chpwordi  20893  prmorcht  20914  dvdsflf1o  20925  dvdsflsumcom  20926  chtlepsi  20943  fsumvma2  20951  pclogsum  20952  vmasum  20953  logfac2  20954  chpval2  20955  chpchtsum  20956  logfaclbnd  20959  logexprlim  20962  logfacrlim2  20963  pcbcctr  21013  bposlem1  21021  bposlem2  21022  lgscllem  21040  lgsval2lem  21043  lgsval4a  21055  lgsneg  21056  lgsdir  21067  lgsdilem2  21068  lgsdi  21069  lgsne0  21070  lgsqrlem2  21079  lgseisenlem1  21086  lgseisenlem2  21087  lgseisenlem3  21088  lgseisenlem4  21089  lgseisen  21090  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  lgsquadlem3  21093  chebbnd1lem1  21116  vmadivsum  21129  vmadivsumb  21130  rplogsumlem2  21132  dchrisum0lem1a  21133  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem2  21137  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem1  21142  dchrvmasum2lem  21143  dchrvmasum2if  21144  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmasumiflem2  21149  dchrisum0fno1  21158  rpvmasum2  21159  dchrisum0re  21160  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  dchrisum0  21167  dchrmusumlem  21169  dchrvmasumlem  21170  rplogsum  21174  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  mulog2sumlem3  21183  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  log2sumbnd  21191  selberglem1  21192  selberglem2  21193  selberglem3  21194  selberg  21195  selbergb  21196  selberg2lem  21197  selberg2  21198  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg3  21206  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd  21213  pntrsumbnd2  21214  selbergr  21215  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntsf  21220  pntsval2  21223  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd2  21234  pntlemf  21252  pntlemk  21253  pntlemo  21254  iseupa  21640  eupares  21650  eupap1  21651  dipcl  22164  dipcn  22172  sspival  22190  esumpcvgval  24421  esumpmono  24422  esumcvg  24429  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  ballotlemimin  24716  ballotlemic  24717  ballotlem1c  24718  ballotlemsel1i  24723  ballotlemsf1o  24724  lgamgulm2  24773  lgamcvglem  24777  lgamcvg2  24792  gamcvg2lem  24796  erdszelem4  24833  erdszelem8  24837  erdsze2lem2  24843  cvmliftlem2  24926  cvmliftlem6  24930  cvmliftlem8  24932  cvmliftlem9  24933  cvmliftlem10  24934  prodeq2ii  25192  prodmolem3  25212  prodmolem2a  25213  fprod  25220  prod1  25223  fprodfac  25249  fprodconst  25255  risefallfac  25292  risefacfac  25301  fallfacfac  25302  faclim  25313  bpolydiflem  26004  mblfinlem  26143  eldioph3b  26713  diophin  26721  diophun  26722  eldiophss  26723  fz1ssnn  26761  irrapxlem4  26778  stoweidlem34  27650  wallispilem4  27684  wallispi  27686  wallispi2lem1  27687  wallispi2  27689  stirlinglem5  27694  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem12  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator