MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Structured version   Unicode version

Theorem elfznn 11717
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11691 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 11692 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10886 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 662 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   1c1 9482    <_ cle 9618   NNcn 10531   ZZcz 10860   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  elfz1end  11718  fz1ssnn  11719  fzossnn  11847  bcm1k  12375  bcpasc  12381  seqcoll  12496  swrd0fv0  12656  swrd0fvlsw  12659  isercolllem2  13570  isercolllem3  13571  isercoll  13572  sumeq2ii  13597  summolem3  13618  summolem2a  13619  fsum  13624  sumz  13626  fsumconst  13687  o1fsum  13709  binomlem  13723  incexc2  13732  climcndslem1  13743  climcndslem2  13744  climcnds  13745  harmonic  13752  arisum2  13754  trireciplem  13755  geo2sum  13764  geo2lim  13766  prodeq2ii  13802  prodmolem3  13822  prodmolem2a  13823  fprod  13830  prod1  13833  fprodfac  13859  fprodconst  13864  rpnnen2lem10  14041  fzm1ndvds  14122  phicl  14383  prmdivdiv  14401  pcfac  14502  pcbc  14503  prmreclem2  14519  prmreclem3  14520  prmreclem4  14521  prmreclem5  14522  prmreclem6  14523  prmrec  14524  4sqlem13  14559  vdwlem2  14584  vdwlem3  14585  vdwlem10  14592  vdwlem12  14594  mulgnnsubcl  16353  mulgnn0z  16361  mulgnndir  16363  oddvdsnn0  16767  odnncl  16768  gexcl3  16806  efgsres  16955  mulgnn0di  17033  gsumconst  17152  srgbinomlem4  17389  chfacfscmulgsum  19528  chfacfpmmulgsum  19532  chfacfpmmulgsum2  19533  cayhamlem1  19534  cpmadugsumlemF  19544  1stcfb  20112  1stckgenlem  20220  lebnumii  21632  ovollb2lem  22065  ovolunlem1a  22073  ovoliunlem1  22079  ovoliunlem2  22080  ovoliun2  22083  ovolscalem1  22090  ovolicc2lem4  22097  voliunlem1  22126  volsup  22132  ioombl1lem4  22137  uniioovol  22154  uniioombllem3a  22159  uniioombllem3  22160  uniioombllem4  22161  uniioombllem5  22162  uniioombllem6  22163  dvply1  22846  aaliou3lem5  22909  aaliou3lem6  22910  dvtaylp  22931  taylthlem2  22935  pserdvlem2  22989  logfac  23154  atantayl  23465  birthdaylem2  23480  emcllem1  23523  emcllem2  23524  emcllem3  23525  emcllem5  23527  emcllem7  23529  harmoniclbnd  23536  harmonicubnd  23537  harmonicbnd4  23538  fsumharmonic  23539  wilthlem1  23540  wilthlem2  23541  ftalem5  23548  basellem1  23552  basellem8  23559  chpf  23595  efchpcl  23597  chpp1  23627  chpwordi  23629  prmorcht  23650  dvdsflf1o  23661  dvdsflsumcom  23662  chtlepsi  23679  fsumvma2  23687  pclogsum  23688  vmasum  23689  logfac2  23690  chpval2  23691  chpchtsum  23692  logfaclbnd  23695  logexprlim  23698  logfacrlim2  23699  pcbcctr  23749  bposlem1  23757  bposlem2  23758  lgscllem  23776  lgsval2lem  23779  lgsval4a  23791  lgsneg  23792  lgsdir  23803  lgsdilem2  23804  lgsdi  23805  lgsne0  23806  lgsqrlem2  23815  lgseisenlem1  23822  lgseisenlem2  23823  lgseisenlem3  23824  lgseisenlem4  23825  lgseisen  23826  lgsquadlem1  23827  lgsquadlem2  23828  lgsquadlem3  23829  chebbnd1lem1  23852  vmadivsum  23865  vmadivsumb  23866  rplogsumlem2  23868  dchrisum0lem1a  23869  rpvmasumlem  23870  dchrisumlem2  23873  dchrmusum2  23877  dchrvmasumlem1  23878  dchrvmasum2lem  23879  dchrvmasum2if  23880  dchrvmasumlem2  23881  dchrvmasumlem3  23882  dchrvmasumiflem1  23884  dchrvmasumiflem2  23885  dchrisum0fno1  23894  rpvmasum2  23895  dchrisum0re  23896  dchrisum0lem1b  23898  dchrisum0lem1  23899  dchrisum0lem2a  23900  dchrisum0lem2  23901  dchrisum0lem3  23902  dchrisum0  23903  dchrmusumlem  23905  dchrvmasumlem  23906  rplogsum  23910  mudivsum  23913  mulogsumlem  23914  mulogsum  23915  mulog2sumlem1  23917  mulog2sumlem2  23918  mulog2sumlem3  23919  vmalogdivsum2  23921  vmalogdivsum  23922  2vmadivsumlem  23923  log2sumbnd  23927  selberglem1  23928  selberglem2  23929  selberglem3  23930  selberg  23931  selbergb  23932  selberg2lem  23933  selberg2  23934  selberg2b  23935  chpdifbndlem1  23936  logdivbnd  23939  selberg3lem1  23940  selberg3lem2  23941  selberg3  23942  selberg4lem1  23943  selberg4  23944  pntrsumo1  23948  pntrsumbnd  23949  pntrsumbnd2  23950  selbergr  23951  selberg3r  23952  selberg4r  23953  selberg34r  23954  pntsf  23956  pntsval2  23959  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem3  23962  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bndlem6  23966  pntrlog2bnd  23967  pntpbnd2  23970  pntlemf  23988  pntlemk  23989  pntlemo  23990  iseupa  25167  eupares  25177  eupap1  25178  dipcl  25823  dipcn  25831  sspival  25849  esumpcvgval  28307  esumpmono  28308  esumcvg  28315  esumcvgsum  28317  eulerpartlemgc  28565  ballotlemfc0  28695  ballotlemfcc  28696  ballotlemimin  28708  ballotlemic  28709  ballotlem1c  28710  ballotlemsel1i  28715  ballotlemsf1o  28716  lgamgulm2  28842  lgamcvglem  28846  lgamcvg2  28861  gamcvg2lem  28865  erdszelem4  28902  erdszelem8  28906  erdsze2lem2  28912  cvmliftlem2  28995  cvmliftlem6  28999  cvmliftlem8  29001  cvmliftlem9  29002  cvmliftlem10  29003  risefallfac  29387  risefacfac  29398  fallfacval4  29406  faclim  29412  bpolydiflem  30044  mblfinlem2  30292  eldioph3b  30937  diophin  30945  diophun  30946  eldiophss  30947  irrapxlem4  31000  sumnnodd  31875  stoweidlem34  32055  wallispilem4  32089  wallispi  32091  wallispi2lem1  32092  wallispi2  32094  stirlinglem5  32099  stirlinglem7  32101  stirlinglem10  32104  stirlinglem12  32106  fourierdlem83  32211  fourierdlem112  32240  pfxfv0  32628  pfxfvlsw  32631  altgsumbcALT  33196  nn0sumshdiglemA  33494  nn0sumshdiglemB  33495
  Copyright terms: Public domain W3C validator