MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Structured version   Unicode version

Theorem elfznn 11470
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11445 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 11446 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10664 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 664 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   1c1 9275    <_ cle 9411   NNcn 10314   ZZcz 10638   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  elfz1end  11471  fzossnn  11586  bcm1k  12083  bcpasc  12089  seqcoll  12208  swrd0fv0  12328  swrd0fvlsw  12331  isercolllem2  13135  isercolllem3  13136  isercoll  13137  sumeq2ii  13162  summolem3  13183  summolem2a  13184  fsum  13189  sumz  13191  fsumconst  13249  o1fsum  13268  binomlem  13284  incexc2  13293  climcndslem1  13304  climcndslem2  13305  climcnds  13306  harmonic  13313  arisum2  13315  trireciplem  13316  geo2sum  13325  geo2lim  13327  rpnnen2lem10  13498  fzm1ndvds  13577  phicl  13836  prmdivdiv  13854  pcfac  13953  pcbc  13954  prmreclem2  13970  prmreclem3  13971  prmreclem4  13972  prmreclem5  13973  prmreclem6  13974  prmrec  13975  4sqlem13  14010  vdwlem2  14035  vdwlem3  14036  vdwlem10  14043  vdwlem12  14045  mulgnnsubcl  15630  mulgnn0z  15638  mulgnndir  15640  oddvdsnn0  16038  odnncl  16039  gexcl3  16077  efgsres  16226  mulgnn0di  16304  gsumconst  16417  srgbinomlem4  16631  1stcfb  19029  1stckgenlem  19106  lebnumii  20518  ovollb2lem  20951  ovolunlem1a  20959  ovoliunlem1  20965  ovoliunlem2  20966  ovoliun2  20969  ovolscalem1  20976  ovolicc2lem4  20983  voliunlem1  21011  volsup  21017  ioombl1lem4  21022  uniioovol  21039  uniioombllem3a  21044  uniioombllem3  21045  uniioombllem4  21046  uniioombllem5  21047  uniioombllem6  21048  dvply1  21730  aaliou3lem5  21793  aaliou3lem6  21794  dvtaylp  21815  taylthlem2  21819  pserdvlem2  21873  logfac  22029  atantayl  22312  birthdaylem2  22326  emcllem1  22369  emcllem2  22370  emcllem3  22371  emcllem5  22373  emcllem7  22375  harmoniclbnd  22382  harmonicubnd  22383  harmonicbnd4  22384  fsumharmonic  22385  wilthlem1  22386  wilthlem2  22387  ftalem5  22394  basellem1  22398  basellem8  22405  chpf  22441  efchpcl  22443  chpp1  22473  chpwordi  22475  prmorcht  22496  dvdsflf1o  22507  dvdsflsumcom  22508  chtlepsi  22525  fsumvma2  22533  pclogsum  22534  vmasum  22535  logfac2  22536  chpval2  22537  chpchtsum  22538  logfaclbnd  22541  logexprlim  22544  logfacrlim2  22545  pcbcctr  22595  bposlem1  22603  bposlem2  22604  lgscllem  22622  lgsval2lem  22625  lgsval4a  22637  lgsneg  22638  lgsdir  22649  lgsdilem2  22650  lgsdi  22651  lgsne0  22652  lgsqrlem2  22661  lgseisenlem1  22668  lgseisenlem2  22669  lgseisenlem3  22670  lgseisenlem4  22671  lgseisen  22672  lgsquadlem1  22673  lgsquadlem2  22674  lgsquadlem3  22675  chebbnd1lem1  22698  vmadivsum  22711  vmadivsumb  22712  rplogsumlem2  22714  dchrisum0lem1a  22715  rpvmasumlem  22716  dchrisumlem2  22719  dchrmusum2  22723  dchrvmasumlem1  22724  dchrvmasum2lem  22725  dchrvmasum2if  22726  dchrvmasumlem2  22727  dchrvmasumlem3  22728  dchrvmasumiflem1  22730  dchrvmasumiflem2  22731  dchrisum0fno1  22740  rpvmasum2  22741  dchrisum0re  22742  dchrisum0lem1b  22744  dchrisum0lem1  22745  dchrisum0lem2a  22746  dchrisum0lem2  22747  dchrisum0lem3  22748  dchrisum0  22749  dchrmusumlem  22751  dchrvmasumlem  22752  rplogsum  22756  mudivsum  22759  mulogsumlem  22760  mulogsum  22761  mulog2sumlem1  22763  mulog2sumlem2  22764  mulog2sumlem3  22765  vmalogdivsum2  22767  vmalogdivsum  22768  2vmadivsumlem  22769  log2sumbnd  22773  selberglem1  22774  selberglem2  22775  selberglem3  22776  selberg  22777  selbergb  22778  selberg2lem  22779  selberg2  22780  selberg2b  22781  chpdifbndlem1  22782  logdivbnd  22785  selberg3lem1  22786  selberg3lem2  22787  selberg3  22788  selberg4lem1  22789  selberg4  22790  pntrsumo1  22794  pntrsumbnd  22795  pntrsumbnd2  22796  selbergr  22797  selberg3r  22798  selberg4r  22799  selberg34r  22800  pntsf  22802  pntsval2  22805  pntrlog2bndlem1  22806  pntrlog2bndlem2  22807  pntrlog2bndlem3  22808  pntrlog2bndlem4  22809  pntrlog2bndlem5  22810  pntrlog2bndlem6  22812  pntrlog2bnd  22813  pntpbnd2  22816  pntlemf  22834  pntlemk  22835  pntlemo  22836  iseupa  23554  eupares  23564  eupap1  23565  dipcl  24078  dipcn  24086  sspival  24104  esumpcvgval  26496  esumpmono  26497  esumcvg  26504  eulerpartlemgc  26714  ballotlemfc0  26844  ballotlemfcc  26845  ballotlemimin  26857  ballotlemic  26858  ballotlem1c  26859  ballotlemsel1i  26864  ballotlemsf1o  26865  lgamgulm2  26991  lgamcvglem  26995  lgamcvg2  27010  gamcvg2lem  27014  erdszelem4  27051  erdszelem8  27055  erdsze2lem2  27061  cvmliftlem2  27144  cvmliftlem6  27148  cvmliftlem8  27150  cvmliftlem9  27151  cvmliftlem10  27152  prodeq2ii  27395  prodmolem3  27415  prodmolem2a  27416  fprod  27423  prod1  27426  fprodfac  27452  fprodconst  27458  risefallfac  27496  risefacfac  27507  fallfacval4  27515  faclim  27521  bpolydiflem  28166  mblfinlem2  28400  eldioph3b  29074  diophin  29082  diophun  29083  eldiophss  29084  fz1ssnn  29120  irrapxlem4  29137  stoweidlem34  29800  wallispilem4  29834  wallispi  29836  wallispi2lem1  29837  wallispi2  29839  stirlinglem5  29844  stirlinglem7  29846  stirlinglem10  29849  stirlinglem12  29851  altgsumbcALT  30719
  Copyright terms: Public domain W3C validator