MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Structured version   Unicode version

Theorem elfznn 11464
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11439 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 11440 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10659 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 657 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   1c1 9270    <_ cle 9406   NNcn 10309   ZZcz 10633   ...cfz 11423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424
This theorem is referenced by:  elfz1end  11465  fzossnn  11577  bcm1k  12074  bcpasc  12080  seqcoll  12199  swrd0fv0  12319  swrd0fvlsw  12322  isercolllem2  13126  isercolllem3  13127  isercoll  13128  sumeq2ii  13153  summolem3  13174  summolem2a  13175  fsum  13180  sumz  13182  fsumconst  13239  o1fsum  13258  binomlem  13274  incexc2  13283  climcndslem1  13294  climcndslem2  13295  climcnds  13296  harmonic  13303  arisum2  13305  trireciplem  13306  geo2sum  13315  geo2lim  13317  rpnnen2lem10  13488  fzm1ndvds  13567  phicl  13826  prmdivdiv  13844  pcfac  13943  pcbc  13944  prmreclem2  13960  prmreclem3  13961  prmreclem4  13962  prmreclem5  13963  prmreclem6  13964  prmrec  13965  4sqlem13  14000  vdwlem2  14025  vdwlem3  14026  vdwlem10  14033  vdwlem12  14035  mulgnnsubcl  15618  mulgnn0z  15626  mulgnndir  15628  oddvdsnn0  16026  odnncl  16027  gexcl3  16065  efgsres  16214  mulgnn0di  16292  gsumconst  16405  1stcfb  18890  1stckgenlem  18967  lebnumii  20379  ovollb2lem  20812  ovolunlem1a  20820  ovoliunlem1  20826  ovoliunlem2  20827  ovoliun2  20830  ovolscalem1  20837  ovolicc2lem4  20844  voliunlem1  20872  volsup  20878  ioombl1lem4  20883  uniioovol  20900  uniioombllem3a  20905  uniioombllem3  20906  uniioombllem4  20907  uniioombllem5  20908  uniioombllem6  20909  dvply1  21634  aaliou3lem5  21697  aaliou3lem6  21698  dvtaylp  21719  taylthlem2  21723  pserdvlem2  21777  logfac  21933  atantayl  22216  birthdaylem2  22230  emcllem1  22273  emcllem2  22274  emcllem3  22275  emcllem5  22277  emcllem7  22279  harmoniclbnd  22286  harmonicubnd  22287  harmonicbnd4  22288  fsumharmonic  22289  wilthlem1  22290  wilthlem2  22291  ftalem5  22298  basellem1  22302  basellem8  22309  chpf  22345  efchpcl  22347  chpp1  22377  chpwordi  22379  prmorcht  22400  dvdsflf1o  22411  dvdsflsumcom  22412  chtlepsi  22429  fsumvma2  22437  pclogsum  22438  vmasum  22439  logfac2  22440  chpval2  22441  chpchtsum  22442  logfaclbnd  22445  logexprlim  22448  logfacrlim2  22449  pcbcctr  22499  bposlem1  22507  bposlem2  22508  lgscllem  22526  lgsval2lem  22529  lgsval4a  22541  lgsneg  22542  lgsdir  22553  lgsdilem2  22554  lgsdi  22555  lgsne0  22556  lgsqrlem2  22565  lgseisenlem1  22572  lgseisenlem2  22573  lgseisenlem3  22574  lgseisenlem4  22575  lgseisen  22576  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  lgsquadlem3  22579  chebbnd1lem1  22602  vmadivsum  22615  vmadivsumb  22616  rplogsumlem2  22618  dchrisum0lem1a  22619  rpvmasumlem  22620  dchrisumlem2  22623  dchrmusum2  22627  dchrvmasumlem1  22628  dchrvmasum2lem  22629  dchrvmasum2if  22630  dchrvmasumlem2  22631  dchrvmasumlem3  22632  dchrvmasumiflem1  22634  dchrvmasumiflem2  22635  dchrisum0fno1  22644  rpvmasum2  22645  dchrisum0re  22646  dchrisum0lem1b  22648  dchrisum0lem1  22649  dchrisum0lem2a  22650  dchrisum0lem2  22651  dchrisum0lem3  22652  dchrisum0  22653  dchrmusumlem  22655  dchrvmasumlem  22656  rplogsum  22660  mudivsum  22663  mulogsumlem  22664  mulogsum  22665  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  mulog2sumlem3  22669  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  log2sumbnd  22677  selberglem1  22678  selberglem2  22679  selberglem3  22680  selberg  22681  selbergb  22682  selberg2lem  22683  selberg2  22684  selberg2b  22685  chpdifbndlem1  22686  logdivbnd  22689  selberg3lem1  22690  selberg3lem2  22691  selberg3  22692  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrsumo1  22698  pntrsumbnd  22699  pntrsumbnd2  22700  selbergr  22701  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntsf  22706  pntsval2  22709  pntrlog2bndlem1  22710  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntrlog2bnd  22717  pntpbnd2  22720  pntlemf  22738  pntlemk  22739  pntlemo  22740  iseupa  23408  eupares  23418  eupap1  23419  dipcl  23932  dipcn  23940  sspival  23958  esumpcvgval  26380  esumpmono  26381  esumcvg  26388  eulerpartlemgc  26592  ballotlemfc0  26722  ballotlemfcc  26723  ballotlemimin  26735  ballotlemic  26736  ballotlem1c  26737  ballotlemsel1i  26742  ballotlemsf1o  26743  lgamgulm2  26869  lgamcvglem  26873  lgamcvg2  26888  gamcvg2lem  26892  erdszelem4  26929  erdszelem8  26933  erdsze2lem2  26939  cvmliftlem2  27022  cvmliftlem6  27026  cvmliftlem8  27028  cvmliftlem9  27029  cvmliftlem10  27030  prodeq2ii  27272  prodmolem3  27292  prodmolem2a  27293  fprod  27300  prod1  27303  fprodfac  27329  fprodconst  27335  risefallfac  27373  risefacfac  27384  fallfacval4  27392  faclim  27398  bpolydiflem  28043  mblfinlem2  28270  eldioph3b  28945  diophin  28953  diophun  28954  eldiophss  28955  fz1ssnn  28991  irrapxlem4  29008  stoweidlem34  29672  wallispilem4  29706  wallispi  29708  wallispi2lem1  29709  wallispi2  29711  stirlinglem5  29716  stirlinglem7  29718  stirlinglem10  29721  stirlinglem12  29723
  Copyright terms: Public domain W3C validator