MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Structured version   Unicode version

Theorem elfznn 11703
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11677 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 11678 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10879 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 664 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   1c1 9482    <_ cle 9618   NNcn 10525   ZZcz 10853   ...cfz 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662
This theorem is referenced by:  elfz1end  11704  fzossnn  11827  bcm1k  12348  bcpasc  12354  seqcoll  12465  swrd0fv0  12617  swrd0fvlsw  12620  isercolllem2  13437  isercolllem3  13438  isercoll  13439  sumeq2ii  13464  summolem3  13485  summolem2a  13486  fsum  13491  sumz  13493  fsumconst  13554  o1fsum  13576  binomlem  13593  incexc2  13602  climcndslem1  13613  climcndslem2  13614  climcnds  13615  harmonic  13622  arisum2  13624  trireciplem  13625  geo2sum  13634  geo2lim  13636  rpnnen2lem10  13807  fzm1ndvds  13886  phicl  14147  prmdivdiv  14165  pcfac  14266  pcbc  14267  prmreclem2  14283  prmreclem3  14284  prmreclem4  14285  prmreclem5  14286  prmreclem6  14287  prmrec  14288  4sqlem13  14323  vdwlem2  14348  vdwlem3  14349  vdwlem10  14356  vdwlem12  14358  mulgnnsubcl  15947  mulgnn0z  15955  mulgnndir  15957  oddvdsnn0  16357  odnncl  16358  gexcl3  16396  efgsres  16545  mulgnn0di  16623  gsumconst  16738  srgbinomlem4  16975  chfacfscmulgsum  19121  chfacfpmmulgsum  19125  chfacfpmmulgsum2  19126  cayhamlem1  19127  cpmadugsumlemF  19137  1stcfb  19705  1stckgenlem  19782  lebnumii  21194  ovollb2lem  21627  ovolunlem1a  21635  ovoliunlem1  21641  ovoliunlem2  21642  ovoliun2  21645  ovolscalem1  21652  ovolicc2lem4  21659  voliunlem1  21688  volsup  21694  ioombl1lem4  21699  uniioovol  21716  uniioombllem3a  21721  uniioombllem3  21722  uniioombllem4  21723  uniioombllem5  21724  uniioombllem6  21725  dvply1  22407  aaliou3lem5  22470  aaliou3lem6  22471  dvtaylp  22492  taylthlem2  22496  pserdvlem2  22550  logfac  22706  atantayl  22989  birthdaylem2  23003  emcllem1  23046  emcllem2  23047  emcllem3  23048  emcllem5  23050  emcllem7  23052  harmoniclbnd  23059  harmonicubnd  23060  harmonicbnd4  23061  fsumharmonic  23062  wilthlem1  23063  wilthlem2  23064  ftalem5  23071  basellem1  23075  basellem8  23082  chpf  23118  efchpcl  23120  chpp1  23150  chpwordi  23152  prmorcht  23173  dvdsflf1o  23184  dvdsflsumcom  23185  chtlepsi  23202  fsumvma2  23210  pclogsum  23211  vmasum  23212  logfac2  23213  chpval2  23214  chpchtsum  23215  logfaclbnd  23218  logexprlim  23221  logfacrlim2  23222  pcbcctr  23272  bposlem1  23280  bposlem2  23281  lgscllem  23299  lgsval2lem  23302  lgsval4a  23314  lgsneg  23315  lgsdir  23326  lgsdilem2  23327  lgsdi  23328  lgsne0  23329  lgsqrlem2  23338  lgseisenlem1  23345  lgseisenlem2  23346  lgseisenlem3  23347  lgseisenlem4  23348  lgseisen  23349  lgsquadlem1  23350  lgsquadlem2  23351  lgsquadlem3  23352  chebbnd1lem1  23375  vmadivsum  23388  vmadivsumb  23389  rplogsumlem2  23391  dchrisum0lem1a  23392  rpvmasumlem  23393  dchrisumlem2  23396  dchrmusum2  23400  dchrvmasumlem1  23401  dchrvmasum2lem  23402  dchrvmasum2if  23403  dchrvmasumlem2  23404  dchrvmasumlem3  23405  dchrvmasumiflem1  23407  dchrvmasumiflem2  23408  dchrisum0fno1  23417  rpvmasum2  23418  dchrisum0re  23419  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem1  23422  dchrisum0lem2a  23423  dchrisum0lem2  23424  dchrisum0lem3  23425  dchrisum0  23426  dchrmusumlem  23428  dchrvmasumlem  23429  rplogsum  23433  mudivsum  23436  mulogsumlem  23437  mulogsum  23438  mulog2sumlem1  23440  mulog2sumlem2  23441  mulog2sumlem3  23442  vmalogdivsum2  23444  vmalogdivsum  23445  2vmadivsumlem  23446  log2sumbnd  23450  selberglem1  23451  selberglem2  23452  selberglem3  23453  selberg  23454  selbergb  23455  selberg2lem  23456  selberg2  23457  selberg2b  23458  chpdifbndlem1  23459  logdivbnd  23462  selberg3lem1  23463  selberg3lem2  23464  selberg3  23465  selberg4lem1  23466  selberg4  23467  pntrsumo1  23471  pntrsumbnd  23472  pntrsumbnd2  23473  selbergr  23474  selberg3r  23475  selberg4r  23476  selberg34r  23477  pntsf  23479  pntsval2  23482  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntrlog2bndlem6  23489  pntrlog2bnd  23490  pntpbnd2  23493  pntlemf  23511  pntlemk  23512  pntlemo  23513  iseupa  24627  eupares  24637  eupap1  24638  dipcl  25151  dipcn  25159  sspival  25177  esumpcvgval  27574  esumpmono  27575  esumcvg  27582  eulerpartlemgc  27791  ballotlemfc0  27921  ballotlemfcc  27922  ballotlemimin  27934  ballotlemic  27935  ballotlem1c  27936  ballotlemsel1i  27941  ballotlemsf1o  27942  lgamgulm2  28068  lgamcvglem  28072  lgamcvg2  28087  gamcvg2lem  28091  erdszelem4  28128  erdszelem8  28132  erdsze2lem2  28138  cvmliftlem2  28221  cvmliftlem6  28225  cvmliftlem8  28227  cvmliftlem9  28228  cvmliftlem10  28229  prodeq2ii  28472  prodmolem3  28492  prodmolem2a  28493  fprod  28500  prod1  28503  fprodfac  28529  fprodconst  28535  risefallfac  28573  risefacfac  28584  fallfacval4  28592  faclim  28598  bpolydiflem  29243  mblfinlem2  29480  eldioph3b  30153  diophin  30161  diophun  30162  eldiophss  30163  fz1ssnn  30199  irrapxlem4  30216  sumnnodd  30991  stoweidlem34  31153  wallispilem4  31187  wallispi  31189  wallispi2lem1  31190  wallispi2  31192  stirlinglem5  31197  stirlinglem7  31199  stirlinglem10  31202  stirlinglem12  31204  fourierdlem83  31309  fourierdlem112  31338  altgsumbcALT  31881
  Copyright terms: Public domain W3C validator