MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Structured version   Unicode version

Theorem elfznn 11718
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11692 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 11693 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10891 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 664 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   1c1 9491    <_ cle 9627   NNcn 10537   ZZcz 10865   ...cfz 11676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677
This theorem is referenced by:  elfz1end  11719  fzossnn  11844  bcm1k  12367  bcpasc  12373  seqcoll  12486  swrd0fv0  12641  swrd0fvlsw  12644  isercolllem2  13462  isercolllem3  13463  isercoll  13464  sumeq2ii  13489  summolem3  13510  summolem2a  13511  fsum  13516  sumz  13518  fsumconst  13579  o1fsum  13601  binomlem  13615  incexc2  13624  climcndslem1  13635  climcndslem2  13636  climcnds  13637  harmonic  13644  arisum2  13646  trireciplem  13647  geo2sum  13656  geo2lim  13658  rpnnen2lem10  13829  fzm1ndvds  13910  phicl  14171  prmdivdiv  14189  pcfac  14290  pcbc  14291  prmreclem2  14307  prmreclem3  14308  prmreclem4  14309  prmreclem5  14310  prmreclem6  14311  prmrec  14312  4sqlem13  14347  vdwlem2  14372  vdwlem3  14373  vdwlem10  14380  vdwlem12  14382  mulgnnsubcl  16023  mulgnn0z  16031  mulgnndir  16033  oddvdsnn0  16437  odnncl  16438  gexcl3  16476  efgsres  16625  mulgnn0di  16703  gsumconst  16823  srgbinomlem4  17062  chfacfscmulgsum  19228  chfacfpmmulgsum  19232  chfacfpmmulgsum2  19233  cayhamlem1  19234  cpmadugsumlemF  19244  1stcfb  19812  1stckgenlem  19920  lebnumii  21332  ovollb2lem  21765  ovolunlem1a  21773  ovoliunlem1  21779  ovoliunlem2  21780  ovoliun2  21783  ovolscalem1  21790  ovolicc2lem4  21797  voliunlem1  21826  volsup  21832  ioombl1lem4  21837  uniioovol  21854  uniioombllem3a  21859  uniioombllem3  21860  uniioombllem4  21861  uniioombllem5  21862  uniioombllem6  21863  dvply1  22545  aaliou3lem5  22608  aaliou3lem6  22609  dvtaylp  22630  taylthlem2  22634  pserdvlem2  22688  logfac  22850  atantayl  23133  birthdaylem2  23147  emcllem1  23190  emcllem2  23191  emcllem3  23192  emcllem5  23194  emcllem7  23196  harmoniclbnd  23203  harmonicubnd  23204  harmonicbnd4  23205  fsumharmonic  23206  wilthlem1  23207  wilthlem2  23208  ftalem5  23215  basellem1  23219  basellem8  23226  chpf  23262  efchpcl  23264  chpp1  23294  chpwordi  23296  prmorcht  23317  dvdsflf1o  23328  dvdsflsumcom  23329  chtlepsi  23346  fsumvma2  23354  pclogsum  23355  vmasum  23356  logfac2  23357  chpval2  23358  chpchtsum  23359  logfaclbnd  23362  logexprlim  23365  logfacrlim2  23366  pcbcctr  23416  bposlem1  23424  bposlem2  23425  lgscllem  23443  lgsval2lem  23446  lgsval4a  23458  lgsneg  23459  lgsdir  23470  lgsdilem2  23471  lgsdi  23472  lgsne0  23473  lgsqrlem2  23482  lgseisenlem1  23489  lgseisenlem2  23490  lgseisenlem3  23491  lgseisenlem4  23492  lgseisen  23493  lgsquadlem1  23494  lgsquadlem2  23495  lgsquadlem3  23496  chebbnd1lem1  23519  vmadivsum  23532  vmadivsumb  23533  rplogsumlem2  23535  dchrisum0lem1a  23536  rpvmasumlem  23537  dchrisumlem2  23540  dchrmusum2  23544  dchrvmasumlem1  23545  dchrvmasum2lem  23546  dchrvmasum2if  23547  dchrvmasumlem2  23548  dchrvmasumlem3  23549  dchrvmasumiflem1  23551  dchrvmasumiflem2  23552  dchrisum0fno1  23561  rpvmasum2  23562  dchrisum0re  23563  dchrisum0lem1b  23565  dchrisum0lem1  23566  dchrisum0lem2a  23567  dchrisum0lem2  23568  dchrisum0lem3  23569  dchrisum0  23570  dchrmusumlem  23572  dchrvmasumlem  23573  rplogsum  23577  mudivsum  23580  mulogsumlem  23581  mulogsum  23582  mulog2sumlem1  23584  mulog2sumlem2  23585  mulog2sumlem3  23586  vmalogdivsum2  23588  vmalogdivsum  23589  2vmadivsumlem  23590  log2sumbnd  23594  selberglem1  23595  selberglem2  23596  selberglem3  23597  selberg  23598  selbergb  23599  selberg2lem  23600  selberg2  23601  selberg2b  23602  chpdifbndlem1  23603  logdivbnd  23606  selberg3lem1  23607  selberg3lem2  23608  selberg3  23609  selberg4lem1  23610  selberg4  23611  pntrsumo1  23615  pntrsumbnd  23616  pntrsumbnd2  23617  selbergr  23618  selberg3r  23619  selberg4r  23620  selberg34r  23621  pntsf  23623  pntsval2  23626  pntrlog2bndlem1  23627  pntrlog2bndlem2  23628  pntrlog2bndlem3  23629  pntrlog2bndlem4  23630  pntrlog2bndlem5  23631  pntrlog2bndlem6  23633  pntrlog2bnd  23634  pntpbnd2  23637  pntlemf  23655  pntlemk  23656  pntlemo  23657  iseupa  24830  eupares  24840  eupap1  24841  dipcl  25490  dipcn  25498  sspival  25516  esumpcvgval  27950  esumpmono  27951  esumcvg  27958  eulerpartlemgc  28167  ballotlemfc0  28297  ballotlemfcc  28298  ballotlemimin  28310  ballotlemic  28311  ballotlem1c  28312  ballotlemsel1i  28317  ballotlemsf1o  28318  lgamgulm2  28444  lgamcvglem  28448  lgamcvg2  28463  gamcvg2lem  28467  erdszelem4  28504  erdszelem8  28508  erdsze2lem2  28514  cvmliftlem2  28597  cvmliftlem6  28601  cvmliftlem8  28603  cvmliftlem9  28604  cvmliftlem10  28605  prodeq2ii  29013  prodmolem3  29033  prodmolem2a  29034  fprod  29041  prod1  29044  fprodfac  29070  fprodconst  29076  risefallfac  29114  risefacfac  29125  fallfacval4  29133  faclim  29139  bpolydiflem  29784  mblfinlem2  30020  eldioph3b  30666  diophin  30674  diophun  30675  eldiophss  30676  fz1ssnn  30712  irrapxlem4  30729  sumnnodd  31540  stoweidlem34  31701  wallispilem4  31735  wallispi  31737  wallispi2lem1  31738  wallispi2  31740  stirlinglem5  31745  stirlinglem7  31747  stirlinglem10  31750  stirlinglem12  31752  fourierdlem83  31857  fourierdlem112  31886  altgsumbcALT  32650
  Copyright terms: Public domain W3C validator