Theorem elfzmlbp 11726

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	|- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 11618	. . . 4 |- ( K e. ( M ... ( M + N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) )
2		znn0sub 10846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
3	2	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
4	3	biimpcd 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M <_ K -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
5	4	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
6	5	impcom 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
7		zre 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8	7	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. RR )
9	8	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
10		zre 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
11	10	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
12	11	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
13		zaddcl 10839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
14	13	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
15	14	zred 10902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. RR )
16		letr 9607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
18		zre 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
19		addge01 9998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
20	8, 18, 19	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
21		elnn0z 10812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
22	21	simplbi2 623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
23	22	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
24	20, 23	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( M + N ) -> N e. NN0 ) )
25	17, 24	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> N e. NN0 ) )
26	25	imp 427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> N e. NN0 )
27		df-3an 973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) )
28		3ancoma 978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
29	27, 28	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
30	10, 7, 18	3anim123i 1179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
31	29, 30	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
32		lesubadd2 9961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
34	33	biimprcd 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K <_ ( M + N ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
35	34	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
36	35	impcom 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
37	6, 26, 36	3jca 1174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
38	37	exp31 602	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
40	39	3adant2 1013	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
41	40	imp 427	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	com12 31	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
43	1, 42	syl5bi 217	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( M ... ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
44	43	imp 427	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
45		elfz2nn0 11709	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 212	1 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   e. wcel 1836   class class class wbr 4380  (class class class)co 6214   RRcr 9420   0cc0 9421   + caddc 9424   <_ cle 9558   - cmin 9736   NN0cn0 10730   ZZcz 10799   ...cfz 11611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-fz 11612

This theorem is referenced by:  swrdccatin2  12642  swrdccatin12  12646  pfxccatin12  32635