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Theorem elfzmlbp 11726
Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzmlbp  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfzmlbp
StepHypRef Expression
1 elfz2 11618 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... ( M  +  N
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) ) )
2 znn0sub 10846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  K  <->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
32adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( K  -  M
)  e.  NN0 )
)
43biimpcd 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  <_  K  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
54adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  -> 
( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
65impcom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  NN0 )
7 zre 10803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
87adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
98adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
10 zre 10803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1110adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1211adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
13 zaddcl 10839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
1413adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
1514zred 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
16 letr 9607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  ( M  +  N )  e.  RR )  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  ->  M  <_  ( M  +  N )
) )
179, 12, 15, 16syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) )  ->  M  <_  ( M  +  N
) ) )
18 zre 10803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
19 addge01 9998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  M  <_  ( M  +  N ) ) )
208, 18, 19syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N 
<->  M  <_  ( M  +  N ) ) )
21 elnn0z 10812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
2221simplbi2 623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
2322adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
2420, 23sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_ 
( M  +  N
)  ->  N  e.  NN0 ) )
2517, 24syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) )  ->  N  e.  NN0 ) )
2625imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
27 df-3an 973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) )
28 3ancoma 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
2927, 28bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) 
<->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
3010, 7, 183anim123i 1179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
3129, 30sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
32 lesubadd2 9961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( K  -  M
)  <_  N  <->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  -  M )  <_  N 
<->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
3433biimprcd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  <_  ( M  +  N )  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
3534adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) )  -> 
( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
3635impcom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  <_  N )
376, 26, 363jca 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
3837exp31 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
3938com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
40393adant2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N )
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) ) )
4140imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) ) )
4241com12 31 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
) )
431, 42syl5bi 217 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( M ... ( M  +  N
) )  ->  (
( K  -  M
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4443imp 427 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
45 elfz2nn0 11709 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) )
4644, 45sylibr 212 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( M  +  N
) ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1836   class class class wbr 4380  (class class class)co 6214   RRcr 9420   0cc0 9421    + caddc 9424    <_ cle 9558    - cmin 9736   NN0cn0 10730   ZZcz 10799   ...cfz 11611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-fz 11612
This theorem is referenced by:  swrdccatin2  12642  swrdccatin12  12646  pfxccatin12  32635
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