MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle3 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle3 11702
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the bounds are comparable. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  N )

Proof of Theorem elfzle3
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 11701 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 11103 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    <_ cle 9632   ZZ>=cuz 11091   ...cfz 11682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-neg 9813  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  23747
  Copyright terms: Public domain W3C validator