MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle1 11555
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11550 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 10974 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    <_ cle 9520   ZZ>=cuz 10962   ...cfz 11538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-neg 9699  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11563  fzdisj  11577  elfznn  11579  fznn0sub2  11589  fz0fzdiffz0  11590  fznatpl1  11611  seqf1olem1  11946  seqf1olem2  11947  bcval4  12184  seqcoll  12318  seqcoll2  12319  fsum0diaglem  13345  mertenslem1  13446  divalglem6  13704  hashdvds  13952  prmdiveq  13963  4sqlem11  14118  4sqlem12  14119  dvfsumlem3  21616  birthdaylem3  22463  ppiltx  22631  ppiub  22659  lgsdilem2  22786  lgsquadlem1  22809  chtppilimlem1  22838  dchrvmasumiflem1  22866  pntrlog2bndlem5  22946  pntpbnd1  22951  pntpbnd2  22952  pntlemh  22964  pntlemj  22968  ostth2lem2  22999  axlowdimlem16  23338  ballotlem2  27005  ballotlemsdom  27028  ballotlemsima  27032  ballotlemfrcn0  27046  ballotlem1ri  27051  subfacp1lem1  27201  subfacp1lem5  27206  inffz  27521  fprodntriv  27589  fallfacval4  27680  mblfinlem2  28567  fdc  28779  irrapxlem3  29303  acongrep  29461  fzmaxdif  29462  acongeq  29464  jm2.23  29483  jm2.26lem3  29488  jm2.27dlem2  29497  fmul01lt1lem1  29903  fmul01lt1lem2  29904  stoweidlem3  29936  stoweidlem11  29944  stoweidlem20  29953  stoweidlem26  29959  stoweidlem34  29967  wallispi2  30006  difelfznle  30626
  Copyright terms: Public domain W3C validator