MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle1 11809
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11803 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 11178 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 17 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    <_ cle 9683   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-neg 9870  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11817  fzdisj  11833  elfznn  11835  fznatpl1  11857  fznn0sub2  11904  fz0fzdiffz0  11906  difelfznle  11912  seqf1olem1  12258  seqf1olem2  12259  bcval4  12498  seqcoll  12631  seqcoll2  12632  fsum0diaglem  13836  mertenslem1  13939  fprodntriv  13995  fallfacval4  14095  divalglem6  14377  hashdvds  14722  prmdiveq  14733  4sqlem11  14898  4sqlem12  14899  dvfsumlem3  22978  birthdaylem3  23877  ppiltx  24102  ppiub  24130  lgsdilem2  24257  lgsquadlem1  24280  chtppilimlem1  24309  dchrvmasumiflem1  24337  pntrlog2bndlem5  24417  pntpbnd1  24422  pntpbnd2  24423  pntlemh  24435  pntlemj  24439  ostth2lem2  24470  axlowdimlem16  24985  fzto1st1  28623  smattr  28633  smatbl  28634  smatbr  28635  ballotlem2  29329  ballotlemsdom  29352  ballotlemsima  29356  ballotlemfrcn0  29370  ballotlem1ri  29375  ballotlemsdomOLD  29390  ballotlemsimaOLD  29394  ballotlemfrcn0OLD  29408  ballotlem1riOLD  29413  subfacp1lem1  29910  subfacp1lem5  29915  inffz  30370  poimirlem2  31906  poimirlem6  31910  poimirlem7  31911  poimirlem8  31912  poimirlem11  31915  poimirlem15  31919  poimirlem16  31920  poimirlem17  31921  poimirlem19  31923  poimirlem20  31924  poimirlem22  31926  poimirlem24  31928  poimirlem29  31933  poimirlem31  31935  poimirlem32  31936  mblfinlem2  31942  fdc  32038  irrapxlem3  35638  acongrep  35800  fzmaxdif  35801  acongeq  35803  jm2.23  35821  jm2.26lem3  35826  jm2.27dlem2  35835  monoords  37468  fmul01lt1lem1  37602  fmul01lt1lem2  37603  sumnnodd  37650  dvnmul  37758  dvnprodlem1  37761  dvnprodlem2  37762  iblspltprt  37790  itgspltprt  37796  stoweidlem3  37803  stoweidlem11  37811  stoweidlem20  37820  stoweidlem26  37826  stoweidlem34  37835  wallispi2  37875  dirkeritg  37904  fourierdlem11  37920  fourierdlem12  37921  fourierdlem15  37924  fourierdlem41  37951  fourierdlem48  37958  fourierdlem49  37959  fourierdlem50  37960  fourierdlem52  37962  fourierdlem54  37964  fourierdlem79  37989  fourierdlem102  38012  fourierdlem103  38013  fourierdlem104  38014  fourierdlem114  38024  elaa2lem  38037  elaa2lemOLD  38038  etransclem3  38042  etransclem4  38043  etransclem7  38046  etransclem10  38049  etransclem23  38062  etransclem24  38063  etransclem31  38070  etransclem32  38071  etransclem35  38074  etransclem41  38080  etransclem46  38085  caratheodorylem1  38255  iccpartgt  38611
  Copyright terms: Public domain W3C validator