MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle1 11446
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11441 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 10865 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    <_ cle 9411   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11454  fzdisj  11468  elfznn  11470  fznn0sub2  11480  fz0fzdiffz0  11481  fznatpl1  11502  seqf1olem1  11837  seqf1olem2  11838  bcval4  12075  seqcoll  12208  seqcoll2  12209  fsum0diaglem  13235  mertenslem1  13336  divalglem6  13594  hashdvds  13842  prmdiveq  13853  4sqlem11  14008  4sqlem12  14009  dvfsumlem3  21480  birthdaylem3  22327  ppiltx  22495  ppiub  22523  lgsdilem2  22650  lgsquadlem1  22673  chtppilimlem1  22702  dchrvmasumiflem1  22730  pntrlog2bndlem5  22810  pntpbnd1  22815  pntpbnd2  22816  pntlemh  22828  pntlemj  22832  ostth2lem2  22863  axlowdimlem16  23171  ballotlem2  26840  ballotlemsdom  26863  ballotlemsima  26867  ballotlemfrcn0  26881  ballotlem1ri  26886  subfacp1lem1  27036  subfacp1lem5  27041  inffz  27356  fprodntriv  27424  fallfacval4  27515  mblfinlem2  28400  fdc  28612  irrapxlem3  29136  acongrep  29294  fzmaxdif  29295  acongeq  29297  jm2.23  29316  jm2.26lem3  29321  jm2.27dlem2  29330  fmul01lt1lem1  29736  fmul01lt1lem2  29737  stoweidlem3  29769  stoweidlem11  29777  stoweidlem20  29786  stoweidlem26  29792  stoweidlem34  29800  wallispi2  29839  difelfznle  30459
  Copyright terms: Public domain W3C validator