MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elfzle1 11837
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11831 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 11205 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 17 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1898   class class class wbr 4418   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    <_ cle 9707   ZZ>=cuz 11193   ...cfz 11819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-neg 9894  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11845  fzdisj  11861  elfznn  11863  fznatpl1  11885  fznn0sub2  11933  fz0fzdiffz0  11935  difelfznle  11941  seqf1olem1  12290  seqf1olem2  12291  bcval4  12530  seqcoll  12666  seqcoll2  12667  fsum0diaglem  13892  mertenslem1  13995  fprodntriv  14051  fallfacval4  14151  divalglem6  14433  hashdvds  14778  prmdiveq  14789  4sqlem11  14954  4sqlem12  14955  dvfsumlem3  23036  birthdaylem3  23935  ppiltx  24160  ppiub  24188  lgsdilem2  24315  lgsquadlem1  24338  chtppilimlem1  24367  dchrvmasumiflem1  24395  pntrlog2bndlem5  24475  pntpbnd1  24480  pntpbnd2  24481  pntlemh  24493  pntlemj  24497  ostth2lem2  24528  axlowdimlem16  25043  fzto1st1  28666  smattr  28676  smatbl  28677  smatbr  28678  ballotlem2  29371  ballotlemsdom  29394  ballotlemsima  29398  ballotlemfrcn0  29412  ballotlem1ri  29417  ballotlemsdomOLD  29432  ballotlemsimaOLD  29436  ballotlemfrcn0OLD  29450  ballotlem1riOLD  29455  subfacp1lem1  29952  subfacp1lem5  29957  inffz  30413  poimirlem2  31988  poimirlem6  31992  poimirlem7  31993  poimirlem8  31994  poimirlem11  31997  poimirlem15  32001  poimirlem16  32002  poimirlem17  32003  poimirlem19  32005  poimirlem20  32006  poimirlem22  32008  poimirlem24  32010  poimirlem29  32015  poimirlem31  32017  poimirlem32  32018  mblfinlem2  32024  fdc  32120  irrapxlem3  35714  acongrep  35876  fzmaxdif  35877  acongeq  35879  jm2.23  35897  jm2.26lem3  35902  jm2.27dlem2  35911  monoords  37589  fmul01lt1lem1  37748  fmul01lt1lem2  37749  sumnnodd  37796  dvnmul  37904  dvnprodlem1  37907  dvnprodlem2  37908  iblspltprt  37936  itgspltprt  37942  stoweidlem3  37964  stoweidlem11  37972  stoweidlem20  37981  stoweidlem26  37987  stoweidlem34  37996  wallispi2  38036  dirkeritg  38065  fourierdlem11  38081  fourierdlem12  38082  fourierdlem15  38085  fourierdlem41  38112  fourierdlem48  38119  fourierdlem49  38120  fourierdlem50  38121  fourierdlem52  38123  fourierdlem54  38125  fourierdlem79  38150  fourierdlem102  38173  fourierdlem103  38174  fourierdlem104  38175  fourierdlem114  38185  elaa2lem  38198  elaa2lemOLD  38199  etransclem3  38203  etransclem4  38204  etransclem7  38207  etransclem10  38210  etransclem23  38223  etransclem24  38224  etransclem31  38231  etransclem32  38232  etransclem35  38235  etransclem41  38241  etransclem46  38246  caratheodorylem1  38455  iccpartgt  38876
  Copyright terms: Public domain W3C validator