MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle1 11441
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11436 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 10861 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    <_ cle 9407   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11449  fzdisj  11463  elfznn  11465  fznn0sub2  11475  fz0fzdiffz0  11476  fznatpl1  11495  seqf1olem1  11829  seqf1olem2  11830  bcval4  12067  seqcoll  12200  seqcoll2  12201  fsum0diaglem  13227  mertenslem1  13327  divalglem6  13585  hashdvds  13833  prmdiveq  13844  4sqlem11  13999  4sqlem12  14000  dvfsumlem3  21342  birthdaylem3  22232  ppiltx  22400  ppiub  22428  lgsdilem2  22555  lgsquadlem1  22578  chtppilimlem1  22607  dchrvmasumiflem1  22635  pntrlog2bndlem5  22715  pntpbnd1  22720  pntpbnd2  22721  pntlemh  22733  pntlemj  22737  ostth2lem2  22768  axlowdimlem16  23026  ballotlem2  26719  ballotlemsdom  26742  ballotlemsima  26746  ballotlemfrcn0  26760  ballotlem1ri  26765  subfacp1lem1  26915  subfacp1lem5  26920  inffz  27234  fprodntriv  27302  fallfacval4  27393  mblfinlem2  28273  fdc  28485  irrapxlem3  29010  acongrep  29168  fzmaxdif  29169  acongeq  29171  jm2.23  29190  jm2.26lem3  29195  jm2.27dlem2  29204  fmul01lt1lem1  29610  fmul01lt1lem2  29611  stoweidlem3  29644  stoweidlem11  29652  stoweidlem20  29661  stoweidlem26  29667  stoweidlem34  29675  wallispi2  29714  difelfznle  30334
  Copyright terms: Public domain W3C validator