MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzelz Structured version   Unicode version

Theorem elfzelz 11713
Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzelz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzelz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11709 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzelz 11115 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-neg 9827  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11722  fzsplit2  11735  fzdisj  11737  elfznn  11739  fznatpl1  11760  fzrev2i  11770  fzrev3i  11772  fznuz  11786  fzrevral  11789  fzshftral  11792  fznn0sub2  11807  elfzmlbm  11810  difelfznle  11815  fzosplit  11857  sermono  12142  seqf1olem1  12149  seqf1olem2  12150  bcval2  12386  bcval4  12388  bccmpl  12390  bcp1nk  12398  bcval5  12399  bcpasc  12402  bccl2  12404  seqcoll  12516  seqcoll2  12517  swrdval2  12656  swrd0val  12657  addlenrevswrd  12673  swrd0fv  12675  ccatswrd  12693  swrdswrd  12697  swrdswrd0  12699  swrdccatin12lem2a  12722  swrdccatin12lem2b  12723  swrdccatin2  12724  swrdccatin12  12728  spllen  12742  splfv1  12743  cshwidxm  12790  cshwidxn  12791  lswcshw  12795  2cshwcshw  12805  cshwcshid  12807  cshwcsh2id  12808  seqshft  12930  sumrblem  13545  summolem2a  13549  fsum0diaglem  13603  mptfzshft  13605  fsumrev  13606  fsumshftm  13608  fsum0diag2  13610  binomlem  13653  binom11  13656  bcxmas  13659  arisum  13683  geo2sum  13694  mertenslem1  13705  prodfn0  13715  prodrblem  13748  prodmolem2a  13753  fprodntriv  13761  fprodser  13768  fprod1p  13784  fprodrev  13793  fzm1ndvds  14050  hashdvds  14317  phiprmpw  14318  prmdiveq  14328  prmdivdiv  14329  modprminv  14338  modprminveq  14339  modprm0  14342  4sqlem11  14485  4sqlem12  14486  vdwapun  14504  cshwshashlem1  14592  cshwshashlem2  14593  dfod2  16713  efgredleme  16888  efgredlemc  16890  efgredlemb  16891  gsummptshft  17083  srgbinomlem3  17320  srgbinomlem4  17321  srgbinomlem  17322  chpscmatgsummon  19473  cayhamlem1  19494  iscmet3  21858  mbfi1fseqlem4  22251  itgz  22313  itgcl  22316  ibl0  22319  iblss  22337  iblss2  22338  itgss  22344  itgeqa  22346  iblconst  22350  iblabsr  22362  iblmulc2  22363  itgsplit  22368  dvfsumlem3  22555  plyeq0lem  22733  aalioulem1  22854  cxpeq  23257  birthdaylem2  23408  wilthlem1  23468  wilthlem2  23469  wilthlem3  23470  ftalem5  23476  basellem3  23482  basellem4  23483  dvdsppwf1o  23588  dvdsflf1o  23589  musum  23593  ppiub  23605  chtublem  23612  mersenne  23628  bposlem1  23685  lgsval2lem  23707  lgsdilem2  23732  lgsqrlem2  23743  lgsqrlem4  23745  lgseisenlem1  23750  lgseisenlem2  23751  lgseisenlem3  23752  lgsquadlem1  23755  lgsquadlem2  23756  lgsquadlem3  23757  rpvmasumlem  23798  dchrisumlem1  23800  dchrisumlem2  23801  dchrmusum2  23805  dchrvmasumlem1  23806  dchrvmasum2lem  23807  dchrvmasum2if  23808  dchrvmasumlem3  23810  dchrvmasumiflem1  23812  dchrvmasumiflem2  23813  dchrisum0flblem1  23819  rpvmasum2  23823  dchrisum0lem1b  23826  dchrisum0lem1  23827  dchrisum0lem2a  23828  dchrisum0lem2  23829  dchrisum0lem3  23830  dchrmusumlem  23833  dchrvmasumlem  23834  logdivbnd  23867  pntpbnd1  23897  pntlemh  23910  pntlemj  23914  pntlemf  23916  ostth2lem2  23945  axlowdimlem13  24384  axlowdimlem14  24385  axlowdimlem16  24387  fargshiftfo  24765  clwwnisshclwwn  24936  erclwwlkeqlen  24939  eleclclwwlknlem2  24945  erclwwlkneqlen  24951  clwlkfclwwlk  24971  fzsplit3  27759  bcm1n  27760  ballotlemfc0  28628  ballotlemfcc  28629  ballotlemodife  28633  ballotlemimin  28641  ballotlemsgt1  28646  ballotlemsel1i  28648  ballotlemsf1o  28649  ballotlemsi  28650  ballotlemsima  28651  ballotlemfg  28661  ballotlemfrc  28662  ballotlemfrceq  28664  ballotlemfrcn0  28665  ballotlemirc  28667  ballotlem1ri  28670  erdszelem8  28839  erdszelem9  28840  cvmliftlem7  28933  supfz  29325  inffz  29326  fallfacval3  29352  fallfacfwd  29376  0fallfac  29377  binomfallfaclem1  29379  binomfallfaclem2  29380  binomrisefac  29382  fallfacval4  29383  predfz  29500  bpolycl  30019  bpolysum  30020  bpolydiflem  30021  fsumkthpow  30023  bpoly4  30026  mblfinlem2  30257  iblmulc2nc  30285  fdc  30443  irrapxlem1  30962  irrapxlem2  30963  irrapxlem3  30964  pellexlem5  30973  acongrep  31122  fzmaxdif  31123  acongeq  31125  jm2.22  31141  jm2.23  31142  jm2.26lem3  31147  jm2.26  31148  jm2.27dlem2  31156  isprm7  31396  hashnzfz  31429  fzssz  31669  monoords  31699  elfzelzd  31722  fmul01lt1lem1  31781  fmul01lt1lem2  31782  sumnnodd  31839  dvnmul  31943  dvnprodlem2  31947  iblsplit  31968  iblspltprt  31975  itgspltprt  31981  stoweidlem3  31988  stoweidlem11  31996  stoweidlem20  32005  stoweidlem26  32011  stoweidlem34  32019  stoweidlem59  32044  stirlinglem10  32068  dirkertrigeqlem1  32083  dirkertrigeqlem2  32084  dirkertrigeqlem3  32085  dirkertrigeq  32086  dirkeritg  32087  fourierdlem11  32103  fourierdlem12  32104  fourierdlem15  32107  fourierdlem34  32126  fourierdlem41  32133  fourierdlem46  32138  fourierdlem48  32140  fourierdlem49  32141  fourierdlem50  32142  fourierdlem54  32146  fourierdlem63  32155  fourierdlem64  32156  fourierdlem65  32157  fourierdlem79  32171  fourierdlem102  32194  fourierdlem103  32195  fourierdlem104  32196  fourierdlem114  32206  elaa2lem  32219  etransclem4  32224  etransclem7  32227  etransclem8  32228  etransclem17  32237  etransclem18  32238  etransclem20  32240  etransclem23  32243  etransclem27  32247  etransclem31  32251  etransclem32  32252  etransclem35  32255  etransclem41  32261  etransclem46  32266  etransclem48  32268  addlenrevpfx  32514  ccatpfx  32527  pfxccatin12lem1  32541  pfxccatin12lem2  32542  pfxccatin12  32543  2elfz2melfz  32598  elfzelfzlble  32601  altgsumbc  33085  altgsumbcALT  33086
  Copyright terms: Public domain W3C validator