MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzelz Structured version   Unicode version

Theorem elfzelz 11807
Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzelz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzelz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11803 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzelz 11175 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 17 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-neg 9870  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792
This theorem is referenced by:  fzssz  11808  elfz1eq  11817  fzsplit2  11831  fzdisj  11833  elfznn  11835  fznatpl1  11857  fzrev2i  11867  fzrev3i  11869  fznuz  11883  fzrevral  11886  fzshftral  11889  fznn0sub2  11904  elfzmlbm  11907  difelfznle  11912  predfz  11921  fzosplit  11958  sermono  12251  seqf1olem1  12258  seqf1olem2  12259  bcval2  12496  bcval4  12498  bccmpl  12500  bcp1nk  12508  bcval5  12509  bcpasc  12512  bccl2  12514  seqcoll  12631  seqcoll2  12632  swrdval2  12778  swrd0val  12779  addlenrevswrd  12795  swrd0fv  12797  ccatswrd  12814  swrdswrd  12818  swrdswrd0  12820  swrdccatin12lem2a  12843  swrdccatin12lem2b  12844  swrdccatin2  12845  swrdccatin12  12849  spllen  12863  splfv1  12864  cshwidxm  12911  cshwidxn  12912  lswcshw  12916  2cshwcshw  12926  cshwcshid  12928  cshwcsh2id  12929  seqshft  13148  sumrblem  13776  summolem2a  13780  fsum0diaglem  13836  mptfzshft  13838  fsumrev  13839  fsumshftm  13841  fsum0diag2  13843  binomlem  13886  binom11  13889  bcxmas  13892  arisum  13917  geo2sum  13928  mertenslem1  13939  prodfn0  13949  prodrblem  13982  prodmolem2a  13987  fprodntriv  13995  fprodser  14002  fprod1p  14021  fprodrev  14030  fallfacval3  14064  fallfacfwd  14088  0fallfac  14089  binomfallfaclem1  14091  binomfallfaclem2  14092  binomrisefac  14094  fallfacval4  14095  bpolycl  14104  bpolysum  14105  bpolydiflem  14106  fsumkthpow  14108  bpoly4  14111  fzm1ndvds  14356  prmdvdsfz  14648  hashdvds  14722  phiprmpw  14723  prmdiveq  14733  prmdivdiv  14734  modprminv  14749  modprminveq  14750  modprm0  14755  4sqlem11  14898  4sqlem12  14899  vdwapun  14923  prmop1  14995  prmdvdsprmo  14999  prmdvdsprmop  15000  prmgaplem1  15006  prmgaplem2  15007  prmgaplcmlem1  15008  prmgaplcmlem2  15009  prmgaplcmlem1OLD  15011  prmgaplcmlem2OLD  15012  prmdvdsprmorOLD  15014  prmdvdsprmorpOLD  15015  prmgapprmo  15032  cshwshashlem1  15065  cshwshashlem2  15066  dfod2  17214  efgredleme  17392  efgredlemc  17394  efgredlemb  17395  gsummptshft  17568  srgbinomlem3  17774  srgbinomlem4  17775  srgbinomlem  17776  chpscmatgsummon  19867  cayhamlem1  19888  iscmet3  22261  mbfi1fseqlem4  22674  itgz  22736  itgcl  22739  ibl0  22742  iblss  22760  iblss2  22761  itgss  22767  itgeqa  22769  iblconst  22773  iblabsr  22785  iblmulc2  22786  itgsplit  22791  dvfsumlem3  22978  plyeq0lem  23162  aalioulem1  23286  cxpeq  23695  birthdaylem2  23876  wilthlem1  23991  wilthlem2  23992  wilthlem3  23993  ftalem5  23999  ftalem5OLD  24001  basellem3  24007  basellem4  24008  dvdsppwf1o  24113  dvdsflf1o  24114  musum  24118  ppiub  24130  chtublem  24137  mersenne  24153  bposlem1  24210  lgsval2lem  24232  lgsdilem2  24257  lgsqrlem2  24268  lgsqrlem4  24270  lgseisenlem1  24275  lgseisenlem2  24276  lgseisenlem3  24277  lgsquadlem1  24280  lgsquadlem2  24281  lgsquadlem3  24282  rpvmasumlem  24323  dchrisumlem1  24325  dchrisumlem2  24326  dchrmusum2  24330  dchrvmasumlem1  24331  dchrvmasum2lem  24332  dchrvmasum2if  24333  dchrvmasumlem3  24335  dchrvmasumiflem1  24337  dchrvmasumiflem2  24338  dchrisum0flblem1  24344  rpvmasum2  24348  dchrisum0lem1b  24351  dchrisum0lem1  24352  dchrisum0lem2a  24353  dchrisum0lem2  24354  dchrisum0lem3  24355  dchrmusumlem  24358  dchrvmasumlem  24359  logdivbnd  24392  pntpbnd1  24422  pntlemh  24435  pntlemj  24439  pntlemf  24441  ostth2lem2  24470  axlowdimlem13  24982  axlowdimlem14  24983  axlowdimlem16  24985  fargshiftfo  25364  clwwnisshclwwn  25535  erclwwlkeqlen  25538  eleclclwwlknlem2  25544  erclwwlkneqlen  25550  clwlkfclwwlk  25570  fzsplit3  28376  bcm1n  28377  fz1fzo0m1  28385  ballotlemfc0  29333  ballotlemfcc  29334  ballotlemodife  29338  ballotlemimin  29346  ballotlemsgt1  29351  ballotlemsel1i  29353  ballotlemsf1o  29354  ballotlemsi  29355  ballotlemsima  29356  ballotlemfg  29366  ballotlemfrc  29367  ballotlemfrceq  29369  ballotlemfrcn0  29370  ballotlemirc  29372  ballotlem1ri  29375  ballotlemiminOLD  29384  ballotlemsgt1OLD  29389  ballotlemsel1iOLD  29391  ballotlemsf1oOLD  29392  ballotlemsiOLD  29393  ballotlemsimaOLD  29394  ballotlemfgOLD  29404  ballotlemfrcOLD  29405  ballotlemfrceqOLD  29407  ballotlemfrcn0OLD  29408  ballotlemircOLD  29410  ballotlem1riOLD  29413  erdszelem8  29929  erdszelem9  29930  cvmliftlem7  30022  supfz  30369  inffz  30370  bcprod  30381  fwddifnp1  30937  poimirlem1  31905  poimirlem2  31906  poimirlem7  31911  poimirlem14  31918  poimirlem15  31919  poimirlem16  31920  poimirlem17  31921  poimirlem19  31923  poimirlem20  31924  poimirlem23  31927  poimirlem24  31928  poimirlem27  31931  poimirlem28  31932  poimirlem31  31935  poimirlem32  31936  mblfinlem2  31942  iblmulc2nc  31971  fdc  32038  irrapxlem1  35636  irrapxlem2  35637  irrapxlem3  35638  pellexlem5  35647  acongrep  35800  fzmaxdif  35801  acongeq  35803  jm2.22  35820  jm2.23  35821  jm2.26lem3  35826  jm2.26  35827  jm2.27dlem2  35835  isprm7  36630  hashnzfz  36639  monoords  37468  elfzelzd  37490  fmul01lt1lem1  37602  fmul01lt1lem2  37603  sumnnodd  37650  dvnmul  37758  dvnprodlem2  37762  iblsplit  37783  iblspltprt  37790  itgspltprt  37796  stoweidlem3  37803  stoweidlem11  37811  stoweidlem20  37820  stoweidlem26  37826  stoweidlem34  37835  stoweidlem59  37860  stirlinglem10  37885  dirkertrigeqlem1  37900  dirkertrigeqlem2  37901  dirkertrigeqlem3  37902  dirkertrigeq  37903  dirkeritg  37904  fourierdlem11  37920  fourierdlem12  37921  fourierdlem15  37924  fourierdlem34  37944  fourierdlem41  37951  fourierdlem46  37956  fourierdlem48  37958  fourierdlem49  37959  fourierdlem50  37960  fourierdlem54  37964  fourierdlem63  37973  fourierdlem64  37974  fourierdlem65  37975  fourierdlem79  37989  fourierdlem102  38012  fourierdlem103  38013  fourierdlem104  38014  fourierdlem114  38024  elaa2lem  38037  elaa2lemOLD  38038  etransclem4  38043  etransclem7  38046  etransclem8  38047  etransclem17  38056  etransclem18  38057  etransclem20  38059  etransclem23  38062  etransclem27  38066  etransclem31  38070  etransclem32  38071  etransclem35  38074  etransclem41  38080  etransclem46  38085  etransclem48OLD  38087  etransclem48  38088  iundjiun  38206  caratheodorylem1  38255  el1fzopredsuc  38592  iccpartgtprec  38604  iccpartiltu  38606  iccpartgt  38611  iccpartnel  38622  addlenrevpfx  38808  ccatpfx  38820  pfxccatin12lem1  38834  pfxccatin12lem2  38835  pfxccatin12  38836  2elfz2melfz  38912  elfzelfzlble  38915  altgsumbc  39754  altgsumbcALT  39755  nn0sumshdiglemA  40051  nn0sumshdiglemB  40052
  Copyright terms: Public domain W3C validator