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Theorem elfzelfzelfz 11571
Description: An element of a finite set of sequential integers is an element of a finite set of sequential integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzelfzelfz  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... L ) )

Proof of Theorem elfzelfzelfz
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11567 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
2 elfz2 11531 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( K ... N )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) ) )
3 simpr1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  K  e.  NN0 )
4 elnn0z 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
5 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  ZZ )
6 0z 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  ZZ
7 zletr 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  L )  ->  0  <_  L
) )
86, 7mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  0  <_  L ) )
9 elnn0z 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  <_  L ) )
109simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <_  L  ->  L  e.  NN0 ) )
115, 8, 10sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  L  e.  NN0 ) )
1211expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 )
) )
1312impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 )
) )
144, 13sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1514com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  <_  L  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  N )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 )
) )
1716com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
18173ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  L  e.  NN0 ) ) )
1918imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  ( K  e.  NN0  ->  L  e.  NN0 ) )
2019com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 ) )
21203ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 ) )
2221impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  L  e.  NN0 )
23 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <_  L
)
243, 22, 233jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) )  ->  ( K  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  K  <_  L
) )
2524ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  N ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
262, 25sylbi 195 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( K ... N )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  -> 
( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
2726com12 31 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ( L  e.  ( K ... N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
281, 27sylbi 195 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( L  e.  ( K ... N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) ) )
2928imp 429 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  -> 
( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  K  <_  L ) )
30 elfz2nn0 11567 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... L )  <->  ( K  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  K  <_  L ) )
3129, 30sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  L  e.  ( K ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1757   class class class wbr 4376  (class class class)co 6176   0cc0 9369    <_ cle 9506   NN0cn0 10666   ZZcz 10733   ...cfz 11524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525
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