MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz4 Structured version   Unicode version

Theorem elfz4 11677
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfz4
StepHypRef Expression
1 elfz2 11675 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
21biimpri 206 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282    <_ cle 9625   ZZcz 10860   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-neg 9804  df-z 10861  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  23926  oddpwdc  27933  ballotlemsdom  28090  ballotlemsel1i  28091  ballotlemsima  28094  ballotlemfrcn0  28108  4bc2eq6  28587  isprm7  30795  stoweidlem20  31320
  Copyright terms: Public domain W3C validator