Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfz2z Structured version   Unicode version

Theorem elfz2z 32638
Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz2z  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz2z
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11795 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
2 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  <->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  K  <_  N ) )
31, 2bitri 249 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  K  <_  N ) )
4 nn0ge0 10842 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  K )
6 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ZZ )
76anim1i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N )  /\  0  <_  K )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
8 elnn0z 10898 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
97, 8sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N )  /\  0  <_  K )  ->  K  e.  NN0 )
10 0red 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
11 zre 10889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
13 zre 10889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
15 letr 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
1610, 12, 14, 15syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  0  <_  N ) )
17 elnn0z 10898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
1817simplbi2 625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  N  e.  NN0 )
)
2016, 19syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  NN0 ) )
2120expcomd 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  ->  ( 0  <_  K  ->  N  e.  NN0 )
) )
2221imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N )  /\  0  <_  K )  ->  N  e.  NN0 )
239, 22jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N )  /\  0  <_  K )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
2423ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N
)  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )
255, 24impbid2 204 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N
)  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  <->  0  <_  K ) )
2625ex 434 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  ->  ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  <->  0  <_  K
) ) )
2726pm5.32rd 640 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  K  <_  N )  <->  ( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
283, 27syl5bb 257 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator