Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfz2z Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elfz2z 39065
Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz2z  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz2z
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11892 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
2 df-3an 988 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  <->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  K  <_  N ) )
31, 2bitri 253 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  K  <_  N ) )
4 nn0ge0 10902 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
54adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  K )
6 simpll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ZZ )
76anim1i 572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N )  /\  0  <_  K )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
8 elnn0z 10957 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
97, 8sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N )  /\  0  <_  K )  ->  K  e.  NN0 )
10 0red 9649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
11 zre 10948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1211adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
13 zre 10948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1413adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
15 letr 9732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
1610, 12, 14, 15syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  0  <_  N ) )
17 elnn0z 10957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
1817simplbi2 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
1918adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  N  e.  NN0 )
)
2016, 19syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  NN0 ) )
2120expcomd 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  ->  ( 0  <_  K  ->  N  e.  NN0 )
) )
2221imp31 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N )  /\  0  <_  K )  ->  N  e.  NN0 )
239, 22jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N )  /\  0  <_  K )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
2423ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N
)  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )
255, 24impbid2 208 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <_  N
)  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  <->  0  <_  K ) )
2625ex 436 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  ->  ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  <->  0  <_  K
) ) )
2726pm5.32rd 646 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  K  <_  N )  <->  ( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
283, 27syl5bb 261 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    e. wcel 1889   class class class wbr 4405  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544    <_ cle 9681   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ...cfz 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator