MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz2nn0 Unicode version

Theorem elfz2nn0 11038
Description: Membership in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2nn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz2nn0
StepHypRef Expression
1 elnn0uz 10479 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  <->  K  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
21anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
3 eluznn0 10502 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN0 )
4 eluzle 10454 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  N )
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  K  <_  N )
63, 5jca 519 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  K  <_  N )
)
7 nn0z 10260 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
8 nn0z 10260 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
9 eluz 10455 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  N ) )
107, 8, 9syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  N ) )
1110biimprd 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  <_  N  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
1211impr 603 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  K  <_  N )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
136, 12impbida 806 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) ) )
1413pm5.32i 619 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  <->  ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) ) )
152, 14bitr3i 243 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) ) )
16 elfzuzb 11009 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
17 3anass 940 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  K  <_  N ) ) )
1815, 16, 173bitr4i 269 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  elfznn0  11039  elfz3nn0  11040  fzo0to42pr  11141  elfznelfzo  11147  injresinjlem  11154  wrdeqs1cat  11744  swrds2  11835  aannenlem2  20199  chtublem  20948  lgsquadlem2  21092  pntpbnd2  21234  usgraex0elv  21368  usgraex1elv  21369  usgraex2elv  21370  usgraex3elv  21371  wlkonwlk  21488  cyclnspth  21571  cyclispthon  21573  bcm1n  24104  ballotth  24748  nnubfi  26344  nninfnub  26345  irrapxlem1  26775  jm2.27a  26966  psgnunilem2  27286  stoweidlem17  27633  elfzmlbm  27977  elfzmlbp  27978  nn0fz0  27979  elfzelfzelfz  27981  0elfz  27983  2elfz3nn0  27984  addlenrevswrd  28004  swrd0swrd  28009  swrdswrdlem  28010  swrdswrd  28011  swrd0swrdid  28012  swrdccatin1  28016  swrdccatin12lem3  28024  swrdccatin12b  28027  swrdccatin12c  28028  swrdccat3  28029  swrdccat3a  28030  swrdccat3b  28031  usgra2pthlem1  28040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator