MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Structured version   Unicode version

Theorem elfz1eq 11700
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 11693 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  <_  N )
2 elfzle1 11692 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  <_  K )
3 elfzelz 11691 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzel2 11689 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  e.  ZZ )
5 zre 10864 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 zre 10864 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 letri3 9659 . . . 4  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
85, 6, 7syl2an 475 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
93, 4, 8syl2anc 659 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  ( K  =  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
101, 2, 9mpbir2and 920 1  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480    <_ cle 9618   ZZcz 10860   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  fzsn  11729  fz1sbc  11758  fzm1  11762  bccl  12385  hashbc  12489  swrdccatin1  12702  sumsn  13648  climcnds  13748  prmind2  14315  3prm  14321  vdwlem8  14593  od1  16783  gex1  16813  frgpnabllem1  17079  ply1termlem  22769  coefv0  22814  coemulc  22821  logtayl  23212  leibpilem2  23472  chp1  23642  chtub  23688  2sqlem10  23850  dchrisum0flb  23896  ostth2lem2  24020  axlowdimlem16  24465  sdclem2  30478  sumsnd  31644  sumsnf  31812  fourierdlem20  32151
  Copyright terms: Public domain W3C validator