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Theorem elfz1 11666
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 11663 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) } )
21eleq2d 2530 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) } ) )
3 breq2 4444 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  K ) )
4 breq1 4443 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  (
j  <_  N  <->  K  <_  N ) )
53, 4anbi12d 710 . . . 4  |-  ( j  =  K  ->  (
( M  <_  j  /\  j  <_  N )  <-> 
( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
65elrab 3254 . . 3  |-  ( K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 3anass 972 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
86, 7bitr4i 252 . 2  |-  ( K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )
92, 8syl6bb 261 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275    <_ cle 9618   ZZcz 10853   ...cfz 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-neg 9797  df-z 10854  df-fz 11662
This theorem is referenced by:  elfz  11667  elfz2  11668  fzen  11692  fzaddel  11707  elfzm11  11738  fzm1  11747  fznn0  11758  phicl2  14146  nndiffz1  27250  fzmul  29823  fzadd2  29824  fz1eqin  30293  jm2.27dlem2  30545  iblspltprt  31246  itgspltprt  31252
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