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Theorem elfz1 11545
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 11542 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) } )
21eleq2d 2521 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) } ) )
3 breq2 4396 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  K ) )
4 breq1 4395 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  (
j  <_  N  <->  K  <_  N ) )
53, 4anbi12d 710 . . . 4  |-  ( j  =  K  ->  (
( M  <_  j  /\  j  <_  N )  <-> 
( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
65elrab 3216 . . 3  |-  ( K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 3anass 969 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
86, 7bitr4i 252 . 2  |-  ( K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )
92, 8syl6bb 261 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   class class class wbr 4392  (class class class)co 6192    <_ cle 9522   ZZcz 10749   ...cfz 11540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-neg 9701  df-z 10750  df-fz 11541
This theorem is referenced by:  elfz  11546  elfz2  11547  fzen  11570  fzaddel  11596  fznn0  11627  elfzm11  11631  fzm1  11643  phicl2  13947  nndiffz1  26211  fzmul  28776  fzadd2  28777  fz1eqin  29247  jm2.27dlem2  29499
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