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Theorem elfz0fzfz0 11597
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 0 is a member of a finite set of sequential integers from 0 to a member of a finite set of sequential integers starting at the right border of the first finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0fzfz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11592 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
2 elfz2 11556 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( L ... X )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) ) )
3 nn0re 10694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
4 nn0re 10694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
5 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
63, 4, 53anim123i 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
763expa 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
8 letr 9574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N
) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N ) )
10 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
13 elnn0z 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
14 0red 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
15 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
175adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
18 letr 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  M  /\  M  <_  N
)  ->  0  <_  N ) )
2019exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  M  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  <_  M  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2313, 22sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N
) )
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N )
27 elnn0z 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
2812, 26, 27sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
29 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
3010, 28, 293jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
3130ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
) ) )
329, 31syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
3332exp4b 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
3433com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  L  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
35343impia 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  X )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3837com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
39383ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
4039imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
412, 40sylbi 195 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4241com12 31 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
431, 42sylbi 195 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4443imp 429 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
45 elfz2nn0 11592 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
4644, 45sylibr 212 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388    <_ cle 9525   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ...cfz 11549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550
This theorem is referenced by:  swrdccatin12lem2c  12492  swrdccatin12  12495
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