MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz Structured version   Unicode version

Theorem elfz 11442
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz
StepHypRef Expression
1 elfz1 11441 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 3anass 969 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
32baib 896 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
41, 3sylan9bb 699 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
543impa 1182 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
653comr 1195 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090    <_ cle 9418   ZZcz 10645   ...cfz 11436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pr 4530  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-neg 9597  df-z 10646  df-fz 11437
This theorem is referenced by:  elfz5  11444  fznatpl1  11509  fzrev  11518  fzctr  11528  elfzo  11554  seqf1olem1  11844  bcval5  12093  isprm3  13771  hashdvds  13849  eulerthlem2  13856  prmreclem5  13980  aannenlem1  21793  basellem3  22419  chtub  22550  bcmono  22615  bposlem1  22622  lgseisenlem1  22687  lgsquadlem1  22692  axlowdimlem3  23189  axlowdimlem7  23193  axlowdimlem16  23202  axlowdimlem17  23203  axlowdim  23206  constr3trllem3  23537  mblfinlem2  28427  itg2addnclem2  28442  fzmul  28634  fzadd2  28635  cntotbnd  28693  fzsplit1nn0  29090  irrapxlem3  29163  pellexlem5  29172  acongrep  29321  fzneg  29323  jm2.23  29343  fmul01  29759  fmuldfeq  29762  stoweidlem26  29819
  Copyright terms: Public domain W3C validator