MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz Structured version   Unicode version

Theorem elfz 11681
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz
StepHypRef Expression
1 elfz1 11680 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 3anass 975 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
32baib 901 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
41, 3sylan9bb 697 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
543impa 1189 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
653comr 1202 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270    <_ cle 9618   ZZcz 10860   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-neg 9799  df-z 10861  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  elfz5  11683  fznatpl1  11738  fzrev  11746  fzctr  11791  elfzo  11806  seqf1olem1  12128  bcval5  12378  isprm3  14310  hashdvds  14389  eulerthlem2  14396  prmreclem5  14522  aannenlem1  22890  basellem3  23554  chtub  23685  bcmono  23750  bposlem1  23757  lgseisenlem1  23822  lgsquadlem1  23827  axlowdimlem3  24449  axlowdimlem7  24453  axlowdimlem16  24462  axlowdimlem17  24463  axlowdim  24466  constr3trllem3  24854  mblfinlem2  30292  itg2addnclem2  30307  fzmul  30473  fzadd2  30474  cntotbnd  30532  fzsplit1nn0  30926  irrapxlem3  30999  pellexlem5  31008  acongrep  31157  fzneg  31159  jm2.23  31177  fmul01  31813  fmuldfeq  31816  stoweidlem26  32047  fourierdlem11  32139  fourierdlem12  32140  fourierdlem15  32143  fourierdlem79  32207  pfxccat3a  32657
  Copyright terms: Public domain W3C validator