Theorem elfv 4679

Description: Membership in a function value.

Hypothesis

Ref	Expression
elfv.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elfv	|- (A e. (F` B) <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   x,F,y

Proof of Theorem elfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv.1	. . . 4 |- B e. _V
2	1	fv2 4676	. . 3 |- (F` B) = U.{x | A.y(BFy <-> y = x)}
3	2	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. (F` B) <-> A e. U.{x | A.y(BFy <-> y = x)})
4		eluniab 3189	. 2 |- (A e. U.{x | A.y(BFy <-> y = x)} <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))
5	3, 4	bitri 190	1 |- (A e. (F` B) <-> E.x(A e. x /\ A.y(BFy <-> y = x)))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  fv3 4690

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain