MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfrlmbasn0 Structured version   Unicode version

Theorem elfrlmbasn0 19329
Description: If the dimension of a free module over a ring is not 0, every element of its base set is not empty. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmfibas.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmfibas.n  |-  N  =  ( Base `  R
)
elfrlmbasn0.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
elfrlmbasn0  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( X  e.  B  ->  X  =/=  (/) ) )

Proof of Theorem elfrlmbasn0
StepHypRef Expression
1 frlmfibas.f . . . 4  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
2 frlmfibas.n . . . 4  |-  N  =  ( Base `  R
)
3 elfrlmbasn0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  F
)
41, 2, 3frlmbasf 19327 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X : I --> N )
54ex 436 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( X  e.  B  ->  X : I --> N ) )
6 f0dom0 5790 . . . . 5  |-  ( X : I --> N  -> 
( I  =  (/)  <->  X  =  (/) ) )
76biimprd 227 . . . 4  |-  ( X : I --> N  -> 
( X  =  (/)  ->  I  =  (/) ) )
87necon3d 2649 . . 3  |-  ( X : I --> N  -> 
( I  =/=  (/)  ->  X  =/=  (/) ) )
98com12 33 . 2  |-  ( I  =/=  (/)  ->  ( X : I --> N  ->  X  =/=  (/) ) )
105, 9sylan9 662 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( X  e.  B  ->  X  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1873    =/= wne 2619   (/)c0 3767   -->wf 5603   ` cfv 5607  (class class class)co 6311   Basecbs 15126   freeLMod cfrlm 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-int 4262  df-iun 4307  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-om 6713  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-supp 6932  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-1o 7199  df-oadd 7203  df-er 7380  df-map 7491  df-ixp 7540  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-fin 7590  df-fsupp 7899  df-sup 7971  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-nn 10623  df-2 10681  df-3 10682  df-4 10683  df-5 10684  df-6 10685  df-7 10686  df-8 10687  df-9 10688  df-10 10689  df-n0 10883  df-z 10951  df-dec 11065  df-uz 11173  df-fz 11798  df-struct 15128  df-ndx 15129  df-slot 15130  df-base 15131  df-sets 15132  df-ress 15133  df-plusg 15208  df-mulr 15209  df-sca 15211  df-vsca 15212  df-ip 15213  df-tset 15214  df-ple 15215  df-ds 15217  df-hom 15219  df-cco 15220  df-0g 15345  df-prds 15351  df-pws 15353  df-sra 18400  df-rgmod 18401  df-dsmm 19299  df-frlm 19314
This theorem is referenced by:  mamufacex  19418
  Copyright terms: Public domain W3C validator