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Theorem elfm3 20963
Description: An alternate formulation of elementhood in a mapping filter that requires  F to be onto. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
elfm3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, X    x, A    x, L    x, Y

Proof of Theorem elfm3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foima 5815 . . . 4  |-  ( F : Y -onto-> X  -> 
( F " Y
)  =  X )
21adantl 467 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( F " Y )  =  X )
3 fofun 5811 . . . 4  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  Fun  F )
4 elfvdm 5907 . . . 4  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
5 funimaexg 5678 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  ( F " Y )  e. 
_V )
63, 4, 5syl2anr 480 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( F " Y )  e. 
_V )
72, 6eqeltrrd 2508 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  e.  _V )
8 fof 5810 . . . . 5  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F : Y --> X )
9 elfm2.l . . . . . 6  |-  L  =  ( Y filGen B )
109elfm2 20961 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A
) ) )
118, 10syl3an3 1299 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A
) ) )
12 fgcl 20891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
139, 12syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
14133ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
1514ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
16 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
y  e.  L )
17 cnvimass 5207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
18 fofn 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F  Fn  Y )
19 fndm 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  Y  ->  dom  F  =  Y )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  dom  F  =  Y )
2117, 20syl5sseq 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y -onto-> X  -> 
( `' F " A )  C_  Y
)
22213ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( `' F " A ) 
C_  Y )
2322ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
( `' F " A )  C_  Y
)
2433ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  Fun  F )
2524ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  Fun  F )
269eleq2i 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  L  <->  y  e.  ( Y filGen B ) )
27 elfg 20884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( y  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
28273ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
2928adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
3026, 29syl5bb 260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  (
y  e.  L  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
3130simprbda 627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  y  C_  Y )
32 sseq2 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
F  =  Y  -> 
( y  C_  dom  F  <-> 
y  C_  Y )
)
3332biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  =  Y  /\  y  C_  Y
)  ->  y  C_  dom  F )
3420, 33sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_  dom  F )
35343ad2antl3 1169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_ 
dom  F )
3635adantlr 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_ 
dom  F )
3731, 36syldan 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  y  C_ 
dom  F )
38 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
y )  C_  A  <->  y 
C_  ( `' F " A ) ) )
3925, 37, 38syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  (
( F " y
)  C_  A  <->  y  C_  ( `' F " A ) ) )
4039biimpd 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  (
( F " y
)  C_  A  ->  y 
C_  ( `' F " A ) ) )
4140impr 623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
y  C_  ( `' F " A ) )
42 filss 20866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
y  e.  L  /\  ( `' F " A ) 
C_  Y  /\  y  C_  ( `' F " A ) ) )  ->  ( `' F " A )  e.  L
)
4315, 16, 23, 41, 42syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
( `' F " A )  e.  L
)
44 foimacnv 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  A  C_  X )  ->  ( F "
( `' F " A ) )  =  A )
4544eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  A  C_  X )  ->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
46453ad2antl3 1169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  A  =  ( F "
( `' F " A ) ) )
4746adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
48 imaeq2 5183 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " A )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
4948eqeq2d 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " A )  ->  ( A  =  ( F " x )  <->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) ) )
5049rspcev 3182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F " A )  e.  L  /\  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) )
5143, 47, 50syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) )
5251rexlimdvaa 2915 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  ( E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
5352expimpd 606 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
54 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  A  =  ( F " x ) )
55 imassrn 5198 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
56 forn 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  ran  F  =  X )
57563ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ran  F  =  X )
5857adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ran  F  =  X )
5955, 58syl5sseq 3512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ( F "
x )  C_  X
)
6054, 59eqsstrd 3498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  A  C_  X
)
61 eqimss2 3517 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( F "
x )  ->  ( F " x )  C_  A )
62 imaeq2 5183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F " y )  =  ( F " x
) )
6362sseq1d 3491 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( F " y
)  C_  A  <->  ( F " x )  C_  A
) )
6463rspcev 3182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  L  /\  ( F " x ) 
C_  A )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6561, 64sylan2 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6665adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6760, 66jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F "
y )  C_  A
) )
6867rexlimdvaa 2915 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( E. x  e.  L  A  =  ( F " x )  ->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A ) ) )
6953, 68impbid 193 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
7011, 69bitrd 256 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
71703coml 1212 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X  /\  X  e. 
_V )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
727, 71mpd3an3 1361 1  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854   "cima 4856   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   fBascfbas 18957   filGencfg 18958   Filcfil 20858    FilMap cfm 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-fil 20859  df-fm 20951
This theorem is referenced by:  fmid  20973
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