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Theorem elfm3 20179
Description: An alternate formulation of elementhood in a mapping filter that requires  F to be onto. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
elfm3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, X    x, A    x, L    x, Y

Proof of Theorem elfm3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foima 5791 . . . 4  |-  ( F : Y -onto-> X  -> 
( F " Y
)  =  X )
21adantl 466 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( F " Y )  =  X )
3 fofun 5787 . . . 4  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  Fun  F )
4 elfvdm 5883 . . . 4  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
5 funimaexg 5656 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  ( F " Y )  e. 
_V )
63, 4, 5syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( F " Y )  e. 
_V )
72, 6eqeltrrd 2549 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  e.  _V )
8 fof 5786 . . . . 5  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F : Y --> X )
9 elfm2.l . . . . . 6  |-  L  =  ( Y filGen B )
109elfm2 20177 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A
) ) )
118, 10syl3an3 1258 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A
) ) )
12 fgcl 20107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
139, 12syl5eqel 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
14133ad2ant2 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
16 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
y  e.  L )
17 cnvimass 5348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
18 fofn 5788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F  Fn  Y )
19 fndm 5671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  Y  ->  dom  F  =  Y )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  dom  F  =  Y )
2117, 20syl5sseq 3545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y -onto-> X  -> 
( `' F " A )  C_  Y
)
22213ad2ant3 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( `' F " A ) 
C_  Y )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
( `' F " A )  C_  Y
)
2433ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  Fun  F )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  Fun  F )
269eleq2i 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  L  <->  y  e.  ( Y filGen B ) )
27 elfg 20100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( y  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
28273ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
3026, 29syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  (
y  e.  L  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
3130simprbda 623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  y  C_  Y )
32 sseq2 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
F  =  Y  -> 
( y  C_  dom  F  <-> 
y  C_  Y )
)
3332biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  =  Y  /\  y  C_  Y
)  ->  y  C_  dom  F )
3420, 33sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_  dom  F )
35343ad2antl3 1155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_ 
dom  F )
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_ 
dom  F )
3731, 36syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  y  C_ 
dom  F )
38 funimass3 5988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
y )  C_  A  <->  y 
C_  ( `' F " A ) ) )
3925, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  (
( F " y
)  C_  A  <->  y  C_  ( `' F " A ) ) )
4039biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  (
( F " y
)  C_  A  ->  y 
C_  ( `' F " A ) ) )
4140impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
y  C_  ( `' F " A ) )
42 filss 20082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
y  e.  L  /\  ( `' F " A ) 
C_  Y  /\  y  C_  ( `' F " A ) ) )  ->  ( `' F " A )  e.  L
)
4315, 16, 23, 41, 42syl13anc 1225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
( `' F " A )  e.  L
)
44 foimacnv 5824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  A  C_  X )  ->  ( F "
( `' F " A ) )  =  A )
4544eqcomd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  A  C_  X )  ->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
46453ad2antl3 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  A  =  ( F "
( `' F " A ) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
48 imaeq2 5324 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " A )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
4948eqeq2d 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " A )  ->  ( A  =  ( F " x )  <->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) ) )
5049rspcev 3207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F " A )  e.  L  /\  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) )
5143, 47, 50syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) )
5251rexlimdvaa 2949 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  ( E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
5352expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
54 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  A  =  ( F " x ) )
55 imassrn 5339 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
56 forn 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  ran  F  =  X )
57563ad2ant3 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ran  F  =  X )
5857adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ran  F  =  X )
5955, 58syl5sseq 3545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ( F "
x )  C_  X
)
6054, 59eqsstrd 3531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  A  C_  X
)
61 eqimss2 3550 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( F "
x )  ->  ( F " x )  C_  A )
62 imaeq2 5324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F " y )  =  ( F " x
) )
6362sseq1d 3524 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( F " y
)  C_  A  <->  ( F " x )  C_  A
) )
6463rspcev 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  L  /\  ( F " x ) 
C_  A )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6561, 64sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6665adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6760, 66jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F "
y )  C_  A
) )
6867rexlimdvaa 2949 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( E. x  e.  L  A  =  ( F " x )  ->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A ) ) )
6953, 68impbid 191 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
7011, 69bitrd 253 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
71703coml 1198 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X  /\  X  e. 
_V )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
727, 71mpd3an3 1320 1  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   ran crn 4993   "cima 4995   Fun wfun 5573    Fn wfn 5574   -->wf 5575   -onto->wfo 5577   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   fBascfbas 18170   filGencfg 18171   Filcfil 20074    FilMap cfm 20162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-fil 20075  df-fm 20167
This theorem is referenced by:  fmid  20189
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