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Theorem elfm2 17933
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
elfm2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, F    x, X    x, A    x, L    x, Y

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 17932 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) ) )
2 ssfg 17857 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( Y filGen B )
42, 3syl6sseqr 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
54sselda 3308 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  L )
65adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  (
y  e.  B  /\  ( F " y ) 
C_  A ) )  ->  y  e.  L
)
763ad2antl2 1120 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
y  e.  L )
8 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
( F " y
)  C_  A )
9 imaeq2 5158 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
109sseq1d 3335 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( F " x
)  C_  A  <->  ( F " y )  C_  A
) )
1110rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  A )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
127, 8, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
1312rexlimdvaa 2791 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
143eleq2i 2468 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  L  <->  x  e.  ( Y filGen B ) )
15 elfg 17856 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x ) ) )
1614, 15syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
) ) )
17163ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y 
C_  x ) ) )
18 imass2 5199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  x  ->  ( F " y )  C_  ( F " x ) )
19 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " y ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  A  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2019com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " x ) 
C_  A  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2120ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2218, 21syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
y  C_  x  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2322reximdv 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) )
2423expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2524com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2625expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2717, 26sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  ->  ( ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2827rexlimdv 2789 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) )
2913, 28impbid 184 . . 3  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  <->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
3029anbi2d 685 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A
)  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A
) ) )
311, 30bitrd 245 1  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    C_ wss 3280   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   fBascfbas 16644   filGencfg 16645    FilMap cfm 17918
This theorem is referenced by:  fmfg  17934  elfm3  17935  imaelfm  17936
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-fm 17923
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