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Theorem elfm2 20294
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
elfm2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, F    x, X    x, A    x, L    x, Y

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 20293 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) ) )
2 ssfg 20218 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( Y filGen B )
42, 3syl6sseqr 3556 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
54sselda 3509 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  L )
65adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  (
y  e.  B  /\  ( F " y ) 
C_  A ) )  ->  y  e.  L
)
763ad2antl2 1159 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
y  e.  L )
8 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
( F " y
)  C_  A )
9 imaeq2 5338 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
109sseq1d 3536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( F " x
)  C_  A  <->  ( F " y )  C_  A
) )
1110rspcev 3219 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  A )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
127, 8, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
1312rexlimdvaa 2960 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
143eleq2i 2545 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  L  <->  x  e.  ( Y filGen B ) )
15 elfg 20217 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x ) ) )
1614, 15syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
) ) )
17163ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y 
C_  x ) ) )
18 imass2 5377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  x  ->  ( F " y )  C_  ( F " x ) )
19 sstr2 3516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " y ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  A  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2019com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " x ) 
C_  A  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2120ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2218, 21syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
y  C_  x  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2322reximdv 2941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) )
2423expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2524com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2625expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2717, 26sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  ->  ( ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2827rexlimdv 2957 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) )
2913, 28impbid 191 . . 3  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  <->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
3029anbi2d 703 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A
)  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A
) ) )
311, 30bitrd 253 1  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818    C_ wss 3481   "cima 5007   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   fBascfbas 18253   filGencfg 18254    FilMap cfm 20279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-fm 20284
This theorem is referenced by:  fmfg  20295  elfm3  20296  imaelfm  20297
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