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Theorem elfm2 19533
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
elfm2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, F    x, X    x, A    x, L    x, Y

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 19532 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) ) )
2 ssfg 19457 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( Y filGen B )
42, 3syl6sseqr 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
54sselda 3368 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  L )
65adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  (
y  e.  B  /\  ( F " y ) 
C_  A ) )  ->  y  e.  L
)
763ad2antl2 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
y  e.  L )
8 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
( F " y
)  C_  A )
9 imaeq2 5177 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
109sseq1d 3395 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( F " x
)  C_  A  <->  ( F " y )  C_  A
) )
1110rspcev 3085 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  A )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
127, 8, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
1312rexlimdvaa 2854 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
143eleq2i 2507 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  L  <->  x  e.  ( Y filGen B ) )
15 elfg 19456 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x ) ) )
1614, 15syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
) ) )
17163ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y 
C_  x ) ) )
18 imass2 5216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  x  ->  ( F " y )  C_  ( F " x ) )
19 sstr2 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " y ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  A  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2019com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " x ) 
C_  A  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2120ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2218, 21syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
y  C_  x  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2322reximdv 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) )
2423expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2524com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2625expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2717, 26sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  ->  ( ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2827rexlimdv 2852 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) )
2913, 28impbid 191 . . 3  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  <->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
3029anbi2d 703 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A
)  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A
) ) )
311, 30bitrd 253 1  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2728    C_ wss 3340   "cima 4855   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   fBascfbas 17816   filGencfg 17817    FilMap cfm 19518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-fm 19523
This theorem is referenced by:  fmfg  19534  elfm3  19535  imaelfm  19536
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