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Theorem elfiun 7393
Description: A finite intersection of elements taken from a union of collections. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Nov-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfiun  |-  ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) )  <-> 
( A  e.  ( fi `  B )  \/  A  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, D, y   
x, K, y

Proof of Theorem elfiun
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2924 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  ( B  u.  C
) )  ->  A  e.  _V )
21adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K
)  /\  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) )  ->  A  e.  _V )
3 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K
)  /\  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) )  ->  B  e.  D )
4 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K
)  /\  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) )  ->  C  e.  K )
52, 3, 43jca 1134 . 2  |-  ( ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K
)  /\  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K ) )
6 elex 2924 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( fi `  B )  ->  A  e.  _V )
763anim1i 1140 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  B )  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )
)
873expib 1156 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  B )  ->  (
( B  e.  D  /\  C  e.  K
)  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K ) ) )
9 elex 2924 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  A  e.  _V )
1093anim1i 1140 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )
)
11103expib 1156 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  (
( B  e.  D  /\  C  e.  K
)  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K ) ) )
12 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1312inex1 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
14 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( x  i^i  y )  ->  ( A  e.  _V  <->  ( x  i^i  y )  e.  _V ) )
1513, 14mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( x  i^i  y )  ->  A  e.  _V )
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  B )  /\  y  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  =  ( x  i^i  y )  ->  A  e.  _V ) )
1716rexlimivv 2795 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( fi
`  B ) E. y  e.  ( fi
`  C ) A  =  ( x  i^i  y )  ->  A  e.  _V )
18173anim1i 1140 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  ( fi `  B ) E. y  e.  ( fi `  C ) A  =  ( x  i^i  y )  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )
)
19183expib 1156 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( fi
`  B ) E. y  e.  ( fi
`  C ) A  =  ( x  i^i  y )  ->  (
( B  e.  D  /\  C  e.  K
)  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K ) ) )
208, 11, 193jaoi 1247 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  B )  \/  A  e.  ( fi
`  C )  \/ 
E. x  e.  ( fi `  B ) E. y  e.  ( fi `  C ) A  =  ( x  i^i  y ) )  ->  ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K ) ) )
2120impcom 420 . 2  |-  ( ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K
)  /\  ( A  e.  ( fi `  B
)  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K ) )
22 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  A  e.  _V )
23 unexg 4669 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( B  u.  C
)  e.  _V )
24233adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( B  u.  C
)  e.  _V )
25 elfi 7376 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( B  u.  C
)  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) )  <->  E. z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin ) A  =  |^| z ) )
2622, 24, 25syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) )  <->  E. z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin ) A  =  |^| z ) )
27 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )
)  ->  A  e.  _V )
28 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  |^| z  -> 
( A  e.  _V  <->  |^| z  e.  _V )
)
29 intex 4316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =/=  (/)  <->  |^| z  e.  _V )
3028, 29syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( A  =  |^| z  -> 
( A  e.  _V  <->  z  =/=  (/) ) )
3127, 30syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A  =  |^| z  ->  z  =/=  (/) ) )
32 nne 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( z  i^i  B
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  B )  =  (/) )
33 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  C  e.  K
)
34 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( z  i^i 
B )  =  (/) )
35 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin ) )
36 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  C_ 
~P ( B  u.  C )
3736sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin )  ->  z  e.  ~P ( B  u.  C ) )
3837elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin )  ->  z  C_  ( B  u.  C
) )
39 reldisj 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  ( B  u.  C )  ->  (
( z  i^i  B
)  =  (/)  <->  z  C_  ( ( B  u.  C )  \  B
) ) )
4035, 38, 393syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( ( z  i^i  B )  =  (/) 
<->  z  C_  ( ( B  u.  C )  \  B ) ) )
4134, 40mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  C_  (
( B  u.  C
)  \  B )
)
42 uncom 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  u.  C )  =  ( C  u.  B
)
4342difeq1i 3421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  u.  C ) 
\  B )  =  ( ( C  u.  B )  \  B
)
44 difun2 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  u.  B ) 
\  B )  =  ( C  \  B
)
4543, 44eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  u.  C ) 
\  B )  =  ( C  \  B
)
46 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C 
\  B )  C_  C
4745, 46eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  u.  C ) 
\  B )  C_  C
4841, 47syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  C_  C
)
49 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  =/=  (/) )
50 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  C_ 
Fin
5150sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
5235, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  e.  Fin )
53 elfir 7378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  K  /\  ( z  C_  C  /\  z  =/=  (/)  /\  z  e.  Fin ) )  ->  |^| z  e.  ( fi `  C ) )
5433, 48, 49, 52, 53syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  |^| z  e.  ( fi `  C ) )
55 3mix2 1127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( |^| z  e.  ( fi `  C )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B )  \/ 
|^| z  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B
)  \/  |^| z  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) )
57563expib 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B
)  \/  |^| z  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
5832, 57sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( z  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K
)  /\  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i 
Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  -> 
( |^| z  e.  ( fi `  B )  \/  |^| z  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
59 nne 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( z  i^i  C
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  C )  =  (/) )
60 simp22 991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  B  e.  D
)
61 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( z  i^i 
C )  =  (/) )
62 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin ) )
63 reldisj 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  ( B  u.  C )  ->  (
( z  i^i  C
)  =  (/)  <->  z  C_  ( ( B  u.  C )  \  C
) ) )
6462, 38, 633syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( ( z  i^i  C )  =  (/) 
<->  z  C_  ( ( B  u.  C )  \  C ) ) )
6561, 64mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  C_  (
( B  u.  C
)  \  C )
)
66 difun2 3667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  u.  C ) 
\  C )  =  ( B  \  C
)
67 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
\  C )  C_  B
6866, 67eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  u.  C ) 
\  C )  C_  B
6965, 68syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  C_  B
)
70 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  =/=  (/) )
7162, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  e.  Fin )
72 elfir 7378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  D  /\  ( z  C_  B  /\  z  =/=  (/)  /\  z  e.  Fin ) )  ->  |^| z  e.  ( fi `  B ) )
7360, 69, 70, 71, 72syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  |^| z  e.  ( fi `  B ) )
74 3mix1 1126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( |^| z  e.  ( fi `  B )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B )  \/ 
|^| z  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B
)  \/  |^| z  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) )
76753expib 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B
)  \/  |^| z  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
7759, 76sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( z  i^i  C
)  =/=  (/)  ->  (
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K
)  /\  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i 
Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  -> 
( |^| z  e.  ( fi `  B )  \/  |^| z  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
78 simp22 991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  B  e.  D
)
79 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  i^i  B )  C_  B
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( z  i^i 
B )  C_  B
)
81 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( z  i^i 
B )  =/=  (/) )
82 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin ) )
8382, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  z  e.  Fin )
84 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  i^i  B )  C_  z
85 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  ( z  i^i  B
)  C_  z )  ->  ( z  i^i  B
)  e.  Fin )
8683, 84, 85sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( z  i^i 
B )  e.  Fin )
87 elfir 7378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  D  /\  ( ( z  i^i 
B )  C_  B  /\  ( z  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  B )  e.  Fin ) )  ->  |^| ( z  i^i  B
)  e.  ( fi
`  B ) )
8878, 80, 81, 86, 87syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  |^| ( z  i^i 
B )  e.  ( fi `  B ) )
89 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  C  e.  K
)
90 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  i^i  C )  C_  C
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( z  i^i 
C )  C_  C
)
92 simp1r 982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( z  i^i 
C )  =/=  (/) )
93 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  i^i  C )  C_  z
94 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  ( z  i^i  C
)  C_  z )  ->  ( z  i^i  C
)  e.  Fin )
9583, 93, 94sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( z  i^i 
C )  e.  Fin )
96 elfir 7378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  K  /\  ( ( z  i^i 
C )  C_  C  /\  ( z  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  e.  Fin ) )  ->  |^| ( z  i^i  C
)  e.  ( fi
`  C ) )
9789, 91, 92, 95, 96syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  |^| ( z  i^i 
C )  e.  ( fi `  C ) )
98 indi 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( z  i^i 
B )  u.  (
z  i^i  C )
)
99 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  ( B  u.  C )  <->  ( z  i^i  ( B  u.  C
) )  =  z )
10099biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  ( B  u.  C )  ->  (
z  i^i  ( B  u.  C ) )  =  z )
10198, 100syl5reqr 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( B  u.  C )  ->  z  =  ( ( z  i^i  B )  u.  ( z  i^i  C
) ) )
102101inteqd 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  ( B  u.  C )  ->  |^| z  =  |^| ( ( z  i^i  B )  u.  ( z  i^i  C
) ) )
103 intun 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  |^| (
( z  i^i  B
)  u.  ( z  i^i  C ) )  =  ( |^| (
z  i^i  B )  i^i  |^| ( z  i^i 
C ) )
104102, 103syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  ( B  u.  C )  ->  |^| z  =  ( |^| (
z  i^i  B )  i^i  |^| ( z  i^i 
C ) ) )
10582, 38, 1043syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  |^| z  =  (
|^| ( z  i^i 
B )  i^i  |^| ( z  i^i  C
) ) )
106 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  |^| ( z  i^i  B )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( |^| ( z  i^i  B
)  i^i  y )
)
107106eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  |^| ( z  i^i  B )  -> 
( |^| z  =  ( x  i^i  y )  <->  |^| z  =  ( |^| ( z  i^i  B
)  i^i  y )
) )
108 ineq2 3496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  |^| ( z  i^i  C )  -> 
( |^| ( z  i^i 
B )  i^i  y
)  =  ( |^| ( z  i^i  B
)  i^i  |^| ( z  i^i  C ) ) )
109108eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  |^| ( z  i^i  C )  -> 
( |^| z  =  (
|^| ( z  i^i 
B )  i^i  y
)  <->  |^| z  =  (
|^| ( z  i^i 
B )  i^i  |^| ( z  i^i  C
) ) ) )
110107, 109rspc2ev 3020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
|^| ( z  i^i 
B )  e.  ( fi `  B )  /\  |^| ( z  i^i 
C )  e.  ( fi `  C )  /\  |^| z  =  (
|^| ( z  i^i 
B )  i^i  |^| ( z  i^i  C
) ) )  ->  E. x  e.  ( fi `  B ) E. y  e.  ( fi
`  C ) |^| z  =  ( x  i^i  y ) )
11188, 97, 105, 110syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  ( fi `  B ) E. y  e.  ( fi `  C )
|^| z  =  ( x  i^i  y ) )
112 3mix3 1128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ( fi
`  B ) E. y  e.  ( fi
`  C ) |^| z  =  ( x  i^i  y )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B )  \/ 
|^| z  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  i^i 
B )  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  (
z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B
)  \/  |^| z  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) )
1141133expib 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  (
z  i^i  C )  =/=  (/) )  ->  (
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K
)  /\  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i 
Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  -> 
( |^| z  e.  ( fi `  B )  \/  |^| z  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
11558, 77, 114ecase 909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( |^| z  e.  ( fi `  B
)  \/  |^| z  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) )
116 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  |^| z  -> 
( A  e.  ( fi `  B )  <->  |^| z  e.  ( fi `  B ) ) )
117 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  |^| z  -> 
( A  e.  ( fi `  C )  <->  |^| z  e.  ( fi `  C ) ) )
118 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  |^| z  -> 
( A  =  ( x  i^i  y )  <->  |^| z  =  (
x  i^i  y )
) )
1191182rexbidv 2709 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  |^| z  -> 
( E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y )  <->  E. x  e.  ( fi `  B ) E. y  e.  ( fi
`  C ) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) )
120116, 117, 1193orbi123d 1253 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  |^| z  -> 
( ( A  e.  ( fi `  B
)  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) )  <->  ( |^| z  e.  ( fi `  B
)  \/  |^| z  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) |^| z  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
121115, 120syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  ( z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i  Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  ( A  = 
|^| z  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
122121expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )
)  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( A  =  |^| z  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
123122com23 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A  =  |^| z  ->  (
z  =/=  (/)  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
12431, 123mpdd 38 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  /\  z  e.  ( ~P ( B  u.  C
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A  =  |^| z  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
125124rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( E. z  e.  ( ~P ( B  u.  C )  i^i 
Fin ) A  = 
|^| z  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
12626, 125sylbid 207 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) )  ->  ( A  e.  ( fi `  B
)  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
127 ssun1 3470 . . . . . . 7  |-  B  C_  ( B  u.  C
)
128 fiss 7387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  u.  C
)  e.  _V  /\  B  C_  ( B  u.  C ) )  -> 
( fi `  B
)  C_  ( fi `  ( B  u.  C
) ) )
12923, 127, 128sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( fi `  B
)  C_  ( fi `  ( B  u.  C
) ) )
1301293adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( fi `  B
)  C_  ( fi `  ( B  u.  C
) ) )
131130sseld 3307 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  ->  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) ) )
132 ssun2 3471 . . . . . . 7  |-  C  C_  ( B  u.  C
)
133 fiss 7387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  u.  C
)  e.  _V  /\  C  C_  ( B  u.  C ) )  -> 
( fi `  C
)  C_  ( fi `  ( B  u.  C
) ) )
13423, 132, 133sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( fi `  C
)  C_  ( fi `  ( B  u.  C
) ) )
1351343adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( fi `  C
)  C_  ( fi `  ( B  u.  C
) ) )
136135sseld 3307 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) ) )
137130sseld 3307 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( x  e.  ( fi `  B )  ->  x  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) ) )
138135sseld 3307 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( y  e.  ( fi `  C )  ->  y  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) ) )
139137, 138anim12d 547 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( ( x  e.  ( fi `  B
)  /\  y  e.  ( fi `  C ) )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( B  u.  C )
)  /\  y  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) ) ) )
140 fiin 7385 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  ( B  u.  C ) )  /\  y  e.  ( fi `  ( B  u.  C
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  ( B  u.  C ) ) )
141 eleq1a 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  ( B  u.  C
) )  ->  ( A  =  ( x  i^i  y )  ->  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C )
) ) )
142140, 141syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  ( B  u.  C ) )  /\  y  e.  ( fi `  ( B  u.  C
) ) )  -> 
( A  =  ( x  i^i  y )  ->  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) ) )
143139, 142syl6 31 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( ( x  e.  ( fi `  B
)  /\  y  e.  ( fi `  C ) )  ->  ( A  =  ( x  i^i  y )  ->  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C )
) ) ) )
144143rexlimdvv 2796 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y )  ->  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) ) )
145131, 136, 1443jaod 1248 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( ( A  e.  ( fi `  B
)  \/  A  e.  ( fi `  C
)  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) )  ->  A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) ) ) )
146126, 145impbid 184 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) )  <-> 
( A  e.  ( fi `  B )  \/  A  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
1475, 21, 146pm5.21nd 869 1  |-  ( ( B  e.  D  /\  C  e.  K )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( B  u.  C ) )  <-> 
( A  e.  ( fi `  B )  \/  A  e.  ( fi `  C )  \/  E. x  e.  ( fi `  B
) E. y  e.  ( fi `  C
) A  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   |^|cint 4010   ` cfv 5413   Fincfn 7068   ficfi 7373
This theorem is referenced by:  ordtbas2  17209  ordtbas  17210  fbunfip  17854  fmfnfmlem4  17942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374
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